26. Расчёт переходных процессов операторным методом. Преобразование Лапласа. Функции-оригиналы и изображения, примеры.
РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ –
с помощью преобразования Лапласа.
Определения.
Оригиналом называется функция переменной t (времени), имеющая следующие свойства:
1. f(t)=0, если t<0;
2.
;
3. функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле, т.е. на каждом конечном интервале она имеет конечное число максимумов и минимумов и разрывов первого рода.
Сопоставим ей функцию комплексной переменной p=+j, задаваемую формулой (1):
, (1)
функция F(p) называется изображением по Лапласу функции f(t).
Если функция f(t) удовлетворяет
вышеперечисленным условиям, то интеграл
(1) абсолютно сходится в области Rep=>0
(т.е. сходится интеграл
).
В этой области функция F(p) является
аналитической функцией комплексного
аргумента, т.е. в каждой точке она
разлагается в степенной ряд.
Обозначения изображения по Лапласу:
, F(p)=L[f(t)], 
.
Обратное преобразование Лапласа:
, (2)
обозначение:
L-1[F(p)]=f(t), 
Изображение некоторых функций времени.
Определение 1. Единичная функция 1(t) имеет следующий вид:
, (14)
аналогично:
, (14)
тогда:
, (15)
Определение 2. Единичный импульс или -функция (t) имеет следующий вид:
, (16)
причем выполнено условие:
. (16)
Объяснить появление такой парадоксальной функции можно следующим образом: рассмотрим функцию в виде импульса конечной длительности (рис. 1,а).
,
легко видеть, что
и
.
Кроме этого, рассмотрим функцию e(t,) (рис. 1,б):
,
очевидно, что выполнены следующие соотношения:
,
.
Из этих соотношений следует, что:
. (16)
|
а) |
б) |
|
Рис. 1. d-функция (а) и e- функция (б). |
|
Отметим следующее важное свойство -функции:
, (17)
где t1 – некий фиксированный момент времени:
,
тогда:
отсюда:
Изображения
Пусть f(t)=1(t), тогда:
,
т.е.
L[1(t)]=1/p.
Пусть f(t)=(t), тогда:
Пусть f(t)=et, тогда:
,
т.е.
L[et]=1/(p-).
Другие функции.
L[t]=1/p2.
L[te-t]=1/(p+)2.
L[tn-1e-t/(n-1)!]=1/(p+)n.
L[sin(0t)]=0/(p2+02).
L[cos(0t)]=p/(p2+02).
…