Вопросы к экзамену+ответы(шпоры). Р-РС-ЭП 2 курс, 2 семестр Рябов Н.И. / Ответы / 7.0

7. Принцип наложения, использование для расчёта электрических цепей.

ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ

Для линейных схем справедлив принцип наложения, который состоит в следующем: ток любой ветви схемы может быть представлен как алгебраическая сумма составляющих, обусловленных действием каждого источника в отдельности. Это утверждение следует из линейности системы алгебраических уравнений, связывающей токи ветвей с величинами источников энергии. В самом деле, запишем систему линейных алгебраических уравнений метода контурных токов в матричном виде:

(5.1)

где: - квадратная матрица контурных сопротивлений, - вектор-столбец контурных токов, - вектор-столбец контурных э.д.с.

Решение системы (5.1) можно представить в виде:

(5.2)

где: - квадратная матрица, обратная к .

Пусть , тогда:

(5.3)

где: , - вектор-столбцы контурных токов, обусловленные вектор-столбцами контурных э.д.с.

Таким образом, при определении токов ветвей при помощи принципа наложения можно поочередно оставлять в схеме по одной ЭДС, считая все остальные ЭДС источников равными нулю, но сохраняя в схеме их внутренние сопротивления; т.е. отключение идеального источника э.д.с. закорачивание между точками ее соединения (E=0); отключение идеального источника тока - разрыв ветви, в которой он стоит (J=0). Ток ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой ЭДС. Если схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то следует найти составляющие токов ветвей, вызываемые каждым источником ЭДС и каждым источником тока, после чего определить токи ветвей путем алгебраического суммирования этих составляющих.

Так как принцип наложения следует из общих свойств линейных уравнений, то его можно применять для определения любых физических величин, которые связаны между собой линейной зависимостью. В применении к электрическим цепям можно определять не только токи при заданных сопротивлениях, ЭДС и токах источников, но и напряжения при заданных токах и известных сопротивлениях. Однако этим принципом нельзя пользоваться для вычисления мощностей, так как мощность — квадратичная функция тока или напряжения. Например, мощность в сопротивлении r₁ определяется по формуле

r₁I₁²=r₁(I₁’+I₁’’)²

Если мощность того же элемента с сопротивлением r₁ можно было бы считать равной сумме мощностей, обусловленных частичными токами I₁’ и I₁’’, то получилось бы совсем другое значение:

r₁I₁²=r₁[(I₁’)²+(I₁’’)²]

Пример. На рис. 5.2, а показана мостовая схема с источником ЭДС Е=5 В и источником тока J=1 А. Сопротивления элементов указаны на схеме. Пользуясь принципом наложения, определить токи во всех ветвях.

Решение. Для определения токов в ветвях с применением принципа наложения надо рассчитать токи в двух схемах, изображенных на рис. 5.2,6 и в. В схеме рис. 5.2,6 J=0 (точки b и d разомкнуты), а в схеме рис. 5.2,в Е=0 (точки а к с соединены проводником без сопротивления). Токи в ветвях схемы (рис. 5.2,6)

I₁’=I₄’=Е/(r₁+r₄); I₂’=I₃’=Е/(r₂+r₃).

Токи в ветвях схемы по рис. 5.2,в, где сопротивления r₁ и r₄, а также r₂ и r₃ соединены параллельно,

I₁’=Jr₄/(r₁+r₄);

Токи в ветвях заданной схемы (рис. 5.2, а) равны алгебраическим суммам токов в соответствующих ветвях схем рис. 5.2,6 и в:

I₁=I₁’-I₁’’=(Е-Jr₄)/(r₁+r₄)=0.4 A.

Аналогично

I₂=I₂’+I₂’’=1.4 A; I₃=I₃’-I₃’’=-0.4 A; I₄=I₄’+I₄’’=1.4 A.

Рис. 5.2