Теореми додавання ймовірностей

Нехай подія А є сумою двох подій В і С. Тоді:

а) якщо події В і С несумісні, то ;

б) якщо події В і С сумісні, то

Події В і С називаються залежними, якщо ймовірність однієї з них змінюється залежно від того, відбулась друга подія чи ні. У противному випадку події називаються незалежними. Імовірність події С, визначена за умови, що подія В відбулася, називається умовною і позначається

Теореми множення ймовірностей

Нехай подія А є добутком двох подій В і С. Тоді:

а) якщо події В і С незалежні, то ;

б) якщо події В і С залежні, то

Ці теореми справджуються й для добутку n (n > 2) подій.

Імовірність настання принаймні однієї події

Нехай у результаті випробування можуть відбутися n подій Потрібно знайти ймовірність того, що відбудеться принаймні одна з них. Позначимо цю подію літерою А. Тоді протилежною буде подія яка полягає в тому, що в результаті випробування одночасно настали протилежні події: Знайдемо ймовірність події А через імовірність протилежної події:

Приклад 9. Партія містить 12 стандартних і чотири нестандартні деталі. Навмання беруть три деталі. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей:

1. не менш як дві стандартні;

2. усі три нестандартні;

3. принаймні одна стандартна.

Розв’язок. 1) Нехай подія А — «серед трьох узятих деталей не менш як дві стандартні». Тоді її можна подати як суму двох подій: — «серед трьох узятих деталей дві стандартні і одна нестандартна» і — «усі три узяті деталі стандартні». Події несумісні, тому маємо:

Імовірності подій знайдемо згідно з класичним означенням імовірності.

Отже,

2) Подія В — «усі три взяті деталі нестандартні». Цю подію можна подати як добуток трьох подій де і-та деталь нестандартна, Умовою задачі не задано, що деталі беруться з поверненням. Отже, взяти три деталі разом — це те саме, що брати їх по одній без повернення, а тому події залежні. Згідно з цим імовірність події В обчислюємо так:

3) Подія С — «із трьох деталей принаймні одна стандартна». Протилежна подія — «усі три деталі нестандартні». Імовірність цієї події щойно знайдено: . Остаточно маємо:

Умовною ймовірністю події А при умові події В називається число (при цьому вимагається )

Якщо в умові задачі пишеться, що випадкова подія В відбулася, і тепер треба відшукати ймовірність того, що сталася подія А, то, значить, треба підрахувати умовну ймовірність .

Приклад 10. Кинуто три гральних кубика. Відомо, що на якомусь із кубиків випало 6 очок. Знайти ймовірність того, що на всіх кубиках випали шістки.

Розв'язок. Позначимо через подію А «випадання шісток на всіх кубиках», через подію В «випадання шістки хоча б на одному з кубиків». Тоді в задачі вимагається знайти умовну ймовірність . Маємо (адже кількість всіх варіантів випадання очок на трьох кубиках; - кількість варіантів, при яких шістки не випадають; - ймовірність не випадення жодної шістки). Подія А є підмножиною події B , тому , і ми маємо (адже до події А входить лише один варіант випадання очок). Отримуємо відповідь

Випадкові події A і B називаються незалежними, якщо Події , ,…, називаються незалежними в сукупності, якщо для будь-яких , ,…, . Тому для знаходження ймовірності сукупного виконання кількох незалежних подій треба перемножити ймовірності цих окремих подій. Про незалежність подій, що розглядаються може бути прямо сказано в умові задачі або, частіше, вона випливає із сенсу поданих в умові дій. Наприклад, коли ми підкидаємо два гральних кубика, то випадіння одиниці на першому з них та випадіння двійки на другому, очевидно, не залежить одне від одного.

ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

1. Мішень складається з 3 кіл, в котрі стрілець влучає з ймовірністю 0,2, 2 – 0,2, 3 – 0,1. Що ймовірніше: влучить він чи ні?

2. Гральний кубик підкидають доти, поки не з'явиться 6. Знайти ймовірність того, що вона перший раз з'явиться при 5 кидку.

3. У ящику а білих і в чорних куль, з ящика виймають 1 кулю, дивляться на її колір, кладуть назад, потім виймають іншу кулю. Знайти ймовірність наступних подій: А=(обидві кулі білі); Б=(обидві чорні); В=(обидві різні); Г=(обидві зелені).

4. У першому ящику 7 білих, 6 чорних, 4 зелених куль. У другому ящику 9 білих, 5 чорних і 8 зелених. З кожного виймають по 1 кулі. Знайти ймовірність того, що вони будуть одного кольору.

5. Стрілок влучає у десятку з ймовірністю 0,05, «9» - 0,2, «8» - 0,5. Було здійснено один постріл. Знайти ймовірність наступних подій: А - вибито не менш ніж 8 очок; В - вибито менше 8 очок; С - вибито більше 8 очок.

6. Урна містить 30 однакових куль, які пронумеровано від 1 до 30. Навмання з урни беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що номер кулі виявиться кратним 3 або 5?

7. Знайти ймовірність безвідмовної роботи двох верстатів, якщо ймовірність безвідмовної роботи кожного з них дорівнює 0,58.

8. Чотири спортсмени повинні виконати норму майстра спорту. Кожний з них може виконати її з певною ймовірністю. Яка ймовірність того, що із чотирьох спортсменів норму майстра спорту виконають не менше ніж два спортсмени, не більше ніж три?

9. Гральний кубик і монету підкидають по одному разу. Знайти ймовірність того, що при цьому на грані кубика випаде число кратне 3, а на монеті герб.

10. В урні 40 кульок: 15 блакитних, 5 зелених й 20 білих. Яка ймовірність того, що з урни буде витягнута кольорова кулька. Витяг кольорової кульки означає появу або блакитної, або зеленої кульки.

11. Три студента складають на сесії екзамен з математики. Імовірність того, що перший складе екзамен – 0,9, для другого та третього студентів ця імовірність дорівнює відповідно 0,8 и 0,7. Знайти ймовірність наступних подій: А - три студента складуть екзамен; Б - три студента не складуть екзамен; С - два студента складуть екзамен.

12. Імовірність влучення в мішень для першого спортсмена 0,85, а для другого - 0,8. Спортсмени незалежно друг від друга зробили по одному пострілу. Знайти ймовірність того, що в мішень потрапить хоча б один спортсмен.

13. Симетрична монета підкинута три рази. Яка ймовірність того, що цифра випаде рівно два рази.

14. Підприємство дає в середньому 25% продукції вищого сорту й 65% продукції першого сорту. Яка ймовірність того, що випадково взятий виріб виявиться першого або вищого сорту.

15. Стрілець робить один постріл у мішень, що складається із центрального кола й двох концентричних кілець. Імовірність влучення в коло й кільця відповідно рівні 0,35, 0,20, 0,15. Яка ймовірність влучення в мішень.

16. Визначити ймовірність того, що навмання взяте двозначне число виявиться кратним або 2, або 9, або тому й іншому одночасно.

17. На десятьох картках надруковані цифри від 0 до 9. Визначити ймовірність того, що три навмання взяті й поставлені в ряд картки складуть число 357.

18. Знайти ймовірність того, що при підкиданні грального кубика на верхній грані виявиться парне або кратне 3 число очок.

19. Проводиться чотири постріли по мішені з імовірністю влучення 0,2 при окремому пострілі. Влучення в мішені при різних пострілах є незалежними подіями. Яка ймовірність влучення в ціль рівно три рази?

20. Імовірності появи кожної із трьох незалежних подій А1, А2, А3 відповідно дорівнюють 0,9, 0,8 й 0,7. Знайти ймовірність появи тільки однієї із цих подій.

21. Спортсмен стріляє по мішені, що розділена на три сектори. Імовірність влучення в перший сектор дорівнює 0,4, у другий - 0,3. Яка ймовірність влучення або в перший, або в другий сектор?

22. Слово ПАПАХА складена з букв розрізної абетки. Картки з буквами ретельно перемішані. Чотири картки виймають по черзі й розкладають в ряд. Яка ймовірність одержати таким шляхом слово ПАПА?

23. В урні 6 червоних й 7 зелених куль. З неї виймають поспіль дві кулі. Яка ймовірність того, що обидві кулі зелені?

24. В урні 6 червоних, 5 блакитних й 7 зелених куль. З неї виймають поспіль три кулі. Яка ймовірність того, що при першому витягу з'явиться блакитна куля, при другому - червона, при третьому - зелена кулі?

25. У ящику перебуває 10 деталей, з яких 5 першого типу, 3 - другого, 2 - третього. Яка ймовірність того, що при виборі навмання першою буде взята деталь першого типу, другою - третього, третьою другого типу?

26. Слово ЛОТОС, складене з букв-кубиків, розсипано на окремі букви, які потім перемішані й складені в коробці. З коробки навмання виймають поспіль одну за іншою три букви. Знайти ймовірність того, що при цьому з'явиться слово СТО.

27. В урні зберігається 4 зелених й 8 червоних куль. Кулі з урни виймають по одній без повернення. Таким чином було вийнято 3 кулі. Знайти ймовірність наступної події А - перша куля буде зеленою, друга - червоною, третя – зеленою.

28. В урні зберігається 5 білих й 9 червоних куль. Кулі з урни виймають по одній без повернення. Таким чином було вийнято 4 кулі. Знайти ймовірність наступної події А - перша куля буде червоною, друга - червоною, третя – білою, а четверта або червоною або білою.

29. Задана множина цілих чисел = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Навмання беруть одне число. Яка ймовірність того, що це число виявиться кратним 3, коли відомо, що воно є непарним?

30. У ящику міститься 15 однотипних деталей. Із них 9 стандартні, а решта — браковані. Деталі виймають по одній без повернення. Так було вийнято три деталі. Обчислити ймовірності таких випадкових подій: 1) А — три деталі виявляться стандартними; 2) В — усі три виявляться бракованими; 3) С — дві стандартні й одна бракована.

31. Чотири студента складають на сесії екзамен з Теорії ймовірностей. Імовірність того, що перший складе екзамен, дорівнює 0,8, для другого, третього та четвертого студентів ця ймовірність становить відповідно 0,9, 0,5 і 0,7. Обчислити ймовірності таких випадкових подій: А — три студенти складуть екзамен; В — три студенти не складуть екзамену; С — два студенти складуть екзамен.

32. Задано множину цілих одноцифрових чисел {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Навмання береться одне число, а потім друге, при цьому перше не повертається. Обчислити ймовірність такої випадкової події: здобуте двозначне число ділиться на 5 або на 2.

33. Задано множину цілих одноцифрових чисел {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Навмання береться одне число, а потім друге, при цьому перше не повертається. Обчислити ймовірність такої випадкової події: здобуте двозначне число виявиться непарним.

34. Прилад складається з трьох елементів, які працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що перший елемент не вийде із ладу під час роботи приладу, є величиною сталою і дорівнює р₁ = 0,9. Для другого і третього елементів ця ймовірність відповідно така: р₂ = 0,8, р₃ - 0,7. Обчислити ймовірність того, що під час роботи приладу з ладу вийде: А - три елементи; В - два елементи.

35. Прилад складається з трьох елементів, які працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що перший елемент не вийде із ладу під час роботи приладу, є величиною сталою і дорівнює р₁ = 0,9. Для другого і третього елементів ця ймовірність відповідно така: р₂ = 0,8, р₃ - 0,7. Обчислити ймовірність того, що під час роботи приладу з ладу вийде: один елемент; всі три елементи не вийдуть із ладу.

Практичне заняття 5. Формула повної ймовірності. Формула Байєса

Формула повної ймовірності або формула Байєса: Нехай , ,…, - повна група випадкових подій, тобто ці події попарно не перетинаються та їх об’єднання дає весь простір елементарних подій . Тоді для будь-якої випадкової події B ) (це формула повної ймовірності). Ця формула допомагає, коли подія В може відбуватися при різних випадкових умовах. Тоді різні випадки умов ми вважаємо подіями , і при кожному фіксованому варіанті умов знаходимо ймовірність події В, тобто знаходимо . Потім з цих окремих ймовірностей за допомогою нашої формули рахуємо повну ймовірність події В.

Приклад 11. Радіолокаційна станція шукає об'єкт, який може утворювати радіошум. Якщо об'єкт утворює шум, то станція знаходить його з ймовірністю , якщо не утворює - з ймовірністю . Ймовірність того, що об'єкт видає радіошум, дорівнює Знайти ймовірність того, що об'єкт буде виявлений.

Розв'язок. Розглянемо події - об’єкт утворює шум, - об'єкт не утворює шум, В - станція знаходить об'єкт. Очевидно, що дві події та . утворюють повну групу подій. В наших позначеннях умова задачі означає, що , , , і нам треба знайти . Враховуючи, що , з формули повної ймовірності отримуємо .

Нехай дана повна група подій , . Якщо надійшла інформація, що відбулася випадкова подія В , то це впливає на ймовірності можливостей , і ми можемо переоцінити нові ймовірності . Ці ймовірності підраховуються за допомогою формули Байєса

.

Приклад 12. Радіолокаційна станція шукає об'єкт, який може утворювати радіошум. Якщо об'єкт утворює шум, то станція знаходить його з ймовірністю , якщо не утворює - з ймовірністю . Ймовірність того, що об'єкт видає радіошум, дорівнює . В результаті спостереження станція виявила об'єкт. Знайти ймовірність того, що в цей час утворювався радіошум.

Розв'язок. Як і в розв'язанні прикладу 11 розглянемо події - об'єкт утворює шум, - об'єкт не утворює шум, станція виявляє об'єкт. Тоді в задачі вимагається знайти

3 формули Байєса маємо

ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

1. В урну, що містить дві кулі, опущена біла куля, після чого з неї навмання вийнято одну кулю. Знайти ймовірність того, що куля, яка була витягнута виявиться білою, якщо рівноможливі всі можливі припущення про первісний склад куль (по кольору).

2. В обчислювальній лабораторії є шість клавішних автоматів і чотири напівавтомати. Імовірність того, що за час виконання деяких розрахунків автомат не вийде з ладу, дорівнює 0,95; для напівавтомата ця ймовірність дорівнює 0,8. Студент здійснює розрахунок навмання обраній машині. Знайти ймовірність того, що до закінчення розрахунків машина не вийде з ладу.

3. У першій урні знаходиться 10 куль, з них 8 білих; у другій урні 20 куль, з них 4 білих. З кожної урни навмання витягли по одній кулі, а потім із цих двох куль навмання взято одну. Знайти ймовірність того, що взята біла куля.

4. З 10 студентів, які прийшли скласти екзамен із Теорії ймовірностей та тих, що взяли білети, Іванов і Петров знають 20 білетів з 30, Сидорів погано займався весь семестр і встигнув повторити тільки 15 білетів, інші студенти знають усі 30 білетів. Екзаменатор викликає одного зі студентів. Знайти ймовірність того, що він складе іспит, якщо знання білета гарантує здачу іспиту з імовірністю 0,85, а незнання - 0,1.

5. У кожній із трьох урн міститься 6 чорних і 4 білих кулі. З першої урни навмання витягнули одну кулю й переклали в другу урну, після чого із другої урни навмання витягнули одну кулю й переклали в третю урну. Знайти ймовірність того, що куля, що була навмання витягнута із третьої урни, виявиться білою.

6. Два автомати роблять однакові деталі, які надходять на загальний конвеєр. Продуктивність першого автомата вдвічі більше продуктивності другого. Перший автомат робить у середньому 60% деталей відмінної якості, а другий - 84%. Навмання взята з конвеєра деталь виявилася відмінної якості. Знайти ймовірність того, що ця деталь зроблена першим автоматом.

7. Є три партії деталей по 20 деталей у кожній. Число стандартних деталей у першій, другій, і третій партіях відповідно дорівнює 20, 15, 10. З навмання обраної партії навмання витягнута деталь, що виявилася стандартною. Деталь повертають у партію й удруге із цієї ж партії навмання виймають деталь, що також виявляється стандартною. Знайти ймовірність того, що деталі були витягнуті із третьої партії.

8. Батарея із трьох гармат зробила залп, причому два снаряди вразили ціль. Знайти ймовірність того, що перша гармата влучила, якщо ймовірності влучення в ціль першою, другою й третьою гарматами відповідно дорівнюють р1=0,4, р2=0,3, р3=0,5.

9. Три стрільці зробили залп, причому дві кулі вразили мішень. Знайти ймовірність того, що мішень уразив третій стрілець, якщо ймовірності влучення в мішень першим, другим і третім стрільцями відповідно дорівнюють 0,6, 0,5, 0,4.

10. Два із трьох незалежно працюючих елементів обчислювального пристрою відмовили. Знайти ймовірність того, що відмовили перший і другий елементи, якщо ймовірності відмови першого, другого й третього елементів дорівнюють 0,2, 0,4 й 0,3.

11. До конвеєру надходять деталі від трьох інших цехів. Від першого надходить 45% усіх деталей, від другого — 35% і від третього — 20%. Перший цех допускає в середньому 6% браку, другий — 2% і третій — 8%. Яка ймовірність того, що до конвеєру надійде стандартна деталь?

12. У ящику міститься 11 однотипних деталей, із них 7 стандартних, а решта браковані. Із ящика навмання беруть три деталі й назад не повертають. Яка ймовірність після цього вийняти навмання з ящика стандартну деталь?

13. Маємо три групи ящиків. До першої групи належить 5 ящиків, у кожному з яких 7 стандартних і 3 бракованих виробів, до другої групи — 9 ящиків, у кожному з яких 5 стандартних і 5 бракованих виробів, а до третьої — 3 ящики, у кожному з яких 3 стандартні й 7 бракованих виробів. Із довільно обраного ящика три навмання взяті вироби виявилися стандартними. Яка ймовірність того, що вони були взяті з ящика, який належить третій групі?

14. На склад надходять однотипні вироби з чотирьох заводів: 15% — із заводу № 1, 25% — із заводу №2, 40% — із заводу № 3 і 20% — із заводу № 4. Під час контролю продукції, яка надходить на склад, установлено, що в середньому брак становить для заводу № 1 — 3%, заводу № 2 — 5%, заводу № 3 — 8% і заводу № 4 — 1%. Навмання взятий виріб зі складу виявився бракованим. Яка ймовірність того, що його виготовив завод №1?

15. В ящику міститься 20 тенісних м'ячів, із них 12 нових і 8, які були в користуванні. Із ящика навмання беруть два м'ячі і після закінчення гри повертають у ящик. Після цього із ящика навмання вибирають знову два м'яча для наступної гри. Обчислити ймовірності таких випадкових подій: 1) А — два м'ячі, що вийняли із ящика, ще не були в користуванні; 2) В — два м'ячі вже були в користуванні.

16. У першому ящику міститься 6 стандартних і 5 бракованих деталей. Із першого ящика навмання беруть чотири деталі й перекладають у другий, в якому до цього містилося дві стандартні й одна бракована деталі. Яка ймовірність після цього із другого ящика вийняти одну стандартну деталь?

17. Маємо три урни. У першій міститься 8 білих і 2 чорних кульки, у другій — 5 білих і 5 чорних, у третій — 2 білих і 8 чорних. Навмання підкидають гральний кубик. Якщо випаде на грані число кратне 2, то навмання беруть дві кульки з першої урни, якщо випаде число кратне 5 — дві кульки з другої урни, і якщо випаде число, яке не буде кратним ні 2, ні 3 — дві кульки з третьої урни. Знайти ймовірність появи двох білих кульок у такому експерименті.

18. Деталь може надійти для обробки на перший верстат із імовірністю 0,2, на другий верстат — із імовірністю 0,3 і на третій — із імовірністю 0,5. При обробці деталі на першому верстаті ймовірність допустити брак дорівнює 0,01, на другому і третьому верстатах ця ймовірність відповідно дорівнює 0,05 і 0,08. Оброблені деталі вміщують в одну шухляду. Навмання взята звідти деталь виявилась бракованою. Яка ймовірність того, що її обробляв перший верстат?

19. Клапани, виготовлені цехом заводу, перевіряють три контролери. Імовірність того, що клапан потрапить на перевірку до першого контролера дорівнює 0,3, до другого — 0,5 і до третього — 0,2. Імовірність того, що бракована деталь буде виявлена для першого, другого і третього контролерів відповідно дорівнює 0,95, 0,9, 0,85. Під час перевірки деталі вона виявилась бракованою. Яка ймовірність того, що цю деталь перевіряв третій контролер?

20. Прилад складається із двох вузлів, що працюють незалежно один від одного. Робота кожного вузла необхідна для роботи приладу в цілому. Надійність (імовірність безвідмовної роботи протягом часу t ) першого вузла Р₁ = 0,9; другого Р₂ = 0,8. Прилад випробовувався протягом часу t, і при цьому один з вузлів вийшов з ладу. Знайти ймовірність того, що відмовив у роботі лише перший вузол, а другий був справним.

21. В урні міститься 3 червоних, 1 синя і 2 зелених кульки. Із урни кульки виймають по одній без повернення. Кульки виймають до першої появи червоної. Обчислити ймовірність цієї події.

22. Пасажир для придбання квитка може звернутись до однієї з чотирьох кас. Відповідні ймовірності дорівнюють р₁= 0,2, p₂ = 0,3, р₃ = 0,4, p₄ = 0,1. Імовірність того, що до моменту появи пасажира в касі буде квиток, дорівнює відповідно Р₁ = 0,6, Р₂ = 0,3, Р₃ = 0,8, Р₄ = 0,5. Пасажир звернувся до однієї із кас і купив квиток. Яка ймовірність того, що квиток пасажир придбав у першій касі?

23. Чотири робітники виготовляють однотипні вироби. При цьому продуктивність праці цих робітників становить таке відношення: 2 : 1,5 : 4 : 2,5. Відомо, що частка браку, % для першого, другого, третього та четвертого робітників дорівнює відповідно 1,5, 2,8, 2, 4,5. Після робочої зміни всі виготовлені робітниками вироби вміщують в один бункер. Навмання взятий виріб із бункера виявився стандартним. Яка ймовірність, що його зробив перший або третій робітник?

24. В академічній групі 30 студентів, які складають екзамен з математики, із них 5 підготовлені відмінно, 10 — добре, 9 — задовільно і 6 — незадовільно. В екзаменаційних тестах міститься 10 питань. Відмінно підготовлений студент може відповісти на всі 10 запитань, добре підготовлений — на 7 запитань, задовільно підготовлений — на 5 запитань і незадовільно підготовлений — на 3 запитання. Навмання викликаний студент відповів на всі три запитання у білеті. Знайти ймовірність того, що це був відмінно підготовлений студент.

25. В академічній групі 30 студентів, які складають екзамен з математики, із них 5 підготовлені відмінно, 10 — добре, 9 — задовільно і 6 — незадовільно. В екзаменаційних тестах міститься 10 питань. Відмінно підготовлений студент може відповісти на всі 10 запитань, добре підготовлений — на 7 запитань, задовільно підготовлений — на 5 запитань і незадовільно підготовлений — на 3 запитання. Навмання викликаний студент відповів на всі три запитання у білеті. Знайти ймовірність того, що це був незадовільно підготовлений студент.

26. На двох верстатах-автоматах виробляють однакові деталі, які надходять на транспортер. Продуктивність першого верстата утричі більша, ніж другого, причому перший верстат виробляє нестандартну деталь з імовірністю 0,15, а другий — з імовірністю 0,2. Знайти ймовірність того, що навмання взята з транспортера деталь буде стандартною.

27. Партію виготовлених деталей перевіряли два контролери. Перший перевірив 45 %, а другий — 55 % деталей. Імовірність припуститися помилки під час перевірки для першого контролера становить 0,15, для другого — 0,1. Після додаткової перевірки в партії прийнятих деталей виявлено браковану. Оцінити ймовірність помилки для кожного контролера.

28. По даним ОТК на 100 металевих брусків, підготовлених для обробки, 30 із дефектами. Яка ймовірність того, що з випадково взятих 7 брусків виявиться без дефектів не більше 2?

29. Продуктивність другого верстата в 1,5 рази більша, ніж першого. Перший верстат дає 5 % нестандартних заготівок, а другий — 93 % стандартних. Знайти ймовірність того, що взята навмання заготівка буде: 1) стандартна; 2) нестандартна.

30. Для посіву пшениці заготовлено насіння, серед якого 95 % 1-го сорту, 3 % 2-го та 2 % 3-го сорту. Імовірність того, що з насінини виросте колосок, в якому не менш ніж 50 зерен, для 1-го сорту насіння становить 0,5, для 2-го сорту — 0,2, для 3-го — 0,1. Знайти ймовірність того, що навмання взятий колосок у разі такого посіву матиме не менш як 50 зерен.

31. Дві перфораторниці набили 500 перфокарток, із них перша набила 300. Імовірність припуститися помилки під час виконання цієї роботи становить 0,15 для першої і 0,1 для другої працівниці. Під час контролю на перфокартці виявлено помилку. Знайти ймовірність того, що помилку зробила: 1) перша перфораторниця; 2) друга перфораторниця.

32. Деталі на конвеєр надходять із двох автоматів. Від першого — 60 %, від другого — 40 %. Перший автомат дає 2 %, а другий — 1 % браку. Деталь, яка надійшла на конвеєр, виявилась стандартною. Знайти ймовірність того, що цю деталь виготовлено: 1) першим автоматом; 2) другим автоматом.

33. Маємо три партії однакових деталей. У першій 20 стандартних і 5 нестандартних, у другій — 15 стандартних і 3 нестандартні, у третій — 14 стандартних і 2 нестандартні деталі. Із навмання обраної партії взяли деталь. Вона виявилася стандартною. Знайти ймовірність того, що цю деталь узято: 1) із першої партії; 2) із третьої партії.

34. Маємо три партії однакових деталей. У першій 10 стандартних і 5 нестандартних, у другій — 15 стандартних і 3 нестандартні, у третій — 14 стандартних і 2 нестандартні деталі. Із навмання обраної партії взяли деталь. Вона виявилася стандартною. Знайти ймовірність того, що цю деталь узято: 1) із другої партії.

35. Маємо дві партії однакових виробів. Перша складається з 10 виробів заводу № 1 і 5 виробів заводу № 2. У другій партії 15 виробів заводу № 1 i 6 — заводу № 2. Із навмання вибраної партії взято один виріб, який виявився виготовленим на заводі № 1. Після цього випробування повторили. Знайти ймовірність того, що другий взятий виріб виготовлено на заводі № 2.

Практичне заняття 6. Формула Бернуллі

 Формула Бернуллі:

Нехай проводяться n випробувань, у кожному з яких подія А може як відбутись, так і не відбутись. Якщо ця ймовірність у кожному випробуванні не залежить від того, відбулась вона в інших випробуваннях чи ні, то такі випробування називаються незалежними щодо події А. Згідно з означенням, випробування також незалежні, якщо в кожному з них імовірність настання події А однакова, тобто дорівнює тому самому числу. Імовірність того, що подія А відбудеться в кожному з незалежних випробувань, позначають а ймовірність настання протилежної події Для розв’язування задач на повторні незалежні випробування застосовують такі формули і теореми.

Формула Бернуллі. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається так:

Формула застосовується, якщо

Приклад 13. Із партії, в якій 12 стандартних і 4 нестандартні деталі, навмання беруться 3 деталі з поверненням. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей :

1. усі три стандартні;

2) не більш як одна нестандартна;

3) принаймні одна нестандартна.

Розв’язок. Маємо схему трьох незалежних випробувань. Нехай подія А — «узята деталь стандартна», тоді Імовірності обчислюватимемо за формулою Бернуллі:

1. 

2. Подію «із трьох деталей не більш як одна нестандартна» можна розглядати так: узято 3 стандартні деталі або 2 стандартні і одну нестандартну деталь. У позначеннях формули Бернуллі

3. Протилежною для даної буде подія «усі три деталі нестандартні». Обчислимо цю ймовірність:

ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

1. Із партії, в якій 12 стандартних і 4 нестандартні деталі, навмання беруться 3 деталі з поверненням. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей усі три стандартні;

2. Із партії, в якій 16 стандартних і 3 нестандартні деталі, навмання беруться 3 деталі з поверненням. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей не більш як одна нестандартна.

3. Із партії, в якій 10 стандартних і 4 нестандартні деталі, навмання беруться 3 деталі з поверненням. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей принаймні одна нестандартна.

4. На кожні 30 штампованих виробів у середньому припадає 6 виробів з дефектом. Знайти ймовірність того, що з 5 навмання взятих виробів 3 виявляться без дефекту.

5. Деталі 2-го сорту становлять 2/3 усіх деталей, які є в партії. Знайти ймовірність того, що з 4 навмання взятих деталей 3 виявляться 2-го сорту

6. Частка 3-го сорту становить у деякій масовій продукції у середньому 20 %. Знайти ймовірність того, що з п’яти узятих примірників продукції не менш як три будуть 3-го сорту.

7. У партії, яка складається із виробів двох сортів, виробів 2-го сорту в 1,5 рази більше, ніж 1-го. Знайти ймовірність того, що серед трьох навмання взятих виробів принаймні один буде 1-го сорту.

8. Імовірність виграшу облігації за весь період позики становить 0,6. Куплено 5 облігацій. Знайти ймовірність такої події: виграють дві облігації.

9. Імовірність виграшу облігації за весь період позики становить 0,6. Куплено 5 облігацій. Знайти ймовірність такої події: виграш випаде принаймні на одну облігацію.

10. Імовірність виграшу облігації за весь період позики становить 0,6. Куплено 5 облігацій. Знайти ймовірність такої події: виграють не більш як дві облігації.

11. Для забезпечення роботи на деякому будівельному об’єкті підприємство має 6 автомобілів. Імовірність виходу кожного автомобіля на лінію в першу зміну дорівнює 0,8. Знайти ймовірність нормальної роботи підприємства, якщо для цього в першу зміну потрібно мати на лінії не менш як 4 автомобілі.

12. Підкидається 5 симетричних монет. Знайти ймовірність того, що: випало рівно 2 герби; випало більше одного герба.

13. Імовірність влучення в мішень при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайти імовірність влучення у мішень при 5 пострілах.

14. Схожість насіння даної рослини дорівнює 90 %. Знайти ймовірність того, що із чотирьох посіяних видів насіння зійдуть: а) три; б) не менше ніж три.

15. Імовірність того, що верстат протягом години потребуватиме уваги робітника, дорівнює 0,6. Відомо, що неполадки у верстатах незалежні, знайти ймовірність того, що протягом години уваги робітника зажадає який-небудь верстат із чотирьох, що він обслуговує.

16. Для нормальної роботи автобази на лінії повинне бути не менше восьми машин, а їх є десять. Імовірність невиходу кожної автомашини на лінію дорівнює 0,1. Знайти ймовірність нормальної роботи автобази на найближчий день.

17. Монета підкинута 10 разів. Знайти ймовірність того, що герб випаде: а) від 4 до 6 разів; б) хоча б один раз.

18. Мішень складається з 3 попарно непересічних зон. При одному пострілі по мішені ймовірність влучення в першу зону для даного стрільця дорівнює 0,5. Для другої й третьої зон ця ймовірність дорівнює відповідно 0,3 й 0,2. Стрілець робить 6 пострілів по мішені. Знайти ймовірність того, що при цьому виявиться 3 влучення в першу зону, 2 влучення в другу та 1 влучення в третю зону.

19. Метод лікування, що застосовують приводить до одужання в 90% випадків. Яка ймовірність того, що з 5 хворих одужають не менш 4?

20. Два рівносильних гравця грають у шахи. Що ймовірніше: виграти одну партію із п’яти або дві партії із шести? Нічиї до уваги не приймаються.

21. Два рівносильних гравця грають у шахи. Що ймовірніше: виграти не менш двох партій із чотирьох або не менш трьох партій з п'яти? Нічиї до уваги не приймаються.

22. Знайти ймовірність того, що при 10 підкиданнях монети герб випаде 5 разів.

23. Знайдіть імовірність того, що серед узятих навмання п'яти деталей дві стандартні, якщо ймовірність деталі бути стандартною дорівнює 0,9.

24. Імовірність того, що покупцеві необхідне чоловіче взуття 41-го розміру, дорівнює 0,25. Знайдіть імовірність того, що з шести покупців принаймні двом необхідне взуття 41-го розміру.

25. Метод лікування, що застосовують приводить до одужання в 80% випадків. Яка ймовірність того, що з 5 хворих одужають 4?

26. Імовірність влучення в ціль становить при окремому пострілі 0,8. Знайти ймовірність п'яти влучень при шести пострілах.

27. Схожість насіння даного сорту рослин становить 80%. Яка ймовірність того, що з 5 одиниць посіяного насіння зійде не менше 3.

28. По даним ВТК на 100 металевих брусків, підготовлених для обробки, 30 із браком. Яка імовірність того, що з випадково взятих 7 брусків виявиться без дефектів не більше 2?

29. Імовірність поразки мішені при одному пострілі дорівнює 0,9. Яка ймовірність того, що з 5 пострілів не менш 3 будуть вдалими?

30. Імовірність того, що лампа залишиться справною після 1000 годин роботи, дорівнює 0,2. Знайдіть імовірність того, що з п'яти ламп не менше трьох залишаться справними після 1000 годин роботи.

31. Контрольний тест складається з чотирьох питань. На кожне питання пропонується чотири варіанти відповідей, серед яких тільки один правильний. Знайти ймовірність правильної відповіді на 2, 3 та 4 питання тесту для непідготовленої людини (вибір відповіді навмання).

32. Монету підкинуто 5 разів. Знайти імовірність того, що хоча б один раз з’явиться «герб».

33. Монету підкинуто 6 разів. Знайти імовірність того, що «герб» випаде менш 2-х разів.

34. Ймовірність виготовлення якісного виробу дорівнює 0,9. Яка ймовірність того, що з 4 узятих навмання виробів не менше 3 виявляться якісними?

35. Імовірність хоча б одного влучення в ціль при 4-х пострілах дорівнює 0,9984. Знайти імовірність влучення в ціль при одному пострілі, якщо при кожному пострілі ймовірність влучення однакова.

Практичне заняття 7. Локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа. Формула Пуассона

Локальна теорема Лапласа. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається такою наближеною залежністю:

Локальна теорема Лапласа дає змогу обчислювати ймовірності , якщо n>10 i p>0,1.

Приклад 14. На кожні 40 відштампованих виробів у середньому припадає 4 дефектних. Із усієї продукції навмання узято 400 виробів. Знайти ймовірність того, що серед них 350 виробів будуть без дефектів.

Розв’язок. Подія А — «узято виріб без дефекту». За умовою Р(А) = р = 0,9. Проведено n=400 незалежних випробувань. Розв’яжемо задачу за формулою локальної теореми Лапласа: Підставляючи дані за умовою задачі, дістаємо:

За таблицями знаходимо беручи до уваги, що — парна функція.

Отже,

Формула Пуассона. Якщо в кожному з n незалежних повторних випробувань , а n велике, то

Приклад 15. Завод відправив на базу 1000 доброякісних виробів. За час перебування в дорозі кожний виріб може бути пошкоджено з імовірністю 0,003. Знайти ймовірність того, що на базу прибудуть 3 пошкоджені вироби.

Розв’язок. Якщо подія А — «виріб пошкоджено», то її ймовірність р=0,003. Розглянемо схема незалежних випробувань, n=1000. Імовірність події А досить мала, тому задачу розв’яжемо за формулою Пуассона:

Виконуючи обчислення, знаходимо:

Інтегральна теорема Лапласа. Імовірність того, що подія А відбудеться від до раз при проведенні n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А відбувається з імовірністю р, подається формулою:

— функція Лапласа;

Значення функції Лапласа наводяться у спеціальних таблицях.

Приклад 16. Зерна пшениці проростають з імовірністю 0,95. Знайти ймовірність того, що із 2000 посіяних зерен зійде від 1880 до 1920.

Розв’язок. Подія А — «зерно пшениці зійшло». Її імовірність р = 0,95, кількість незалежних випробувань n = 2000. Застосуємо формулу інтегральної теореми Лапласа:

функція Лапласа, а далі виконаємо обчислення:

Значення функції Лапласа беруться з відповідної таблиці.