39. Ротор вектора. Теорема Стокса.
Ротор вектора. Теорема Стокса.
Ротором
вектора
называется такой вектор
,
проекция которого на нормаль к произвольной
плоскости равна пределу отношения
циркуляции вектора
по контуру, лежащему в этой плоскости,
к площади, ограниченной контуром, когда
эта площадь стремится к нулю.
101\* MERGEFORMAT (.)
где n - нормаль к площади S, образующая с направлением обхода контура правовинтовую систему. Ротор вектора – величина инвариантная по отношению к выбору системы координат. Ротор в декартовых координатах:
,
или:
. 202\* MERGEFORMAT (.)
Используем оператор Гамильтона:
,
тогда ротор
вектора
равен векторному произведению оператора
набла на вектор
:
303\* MERGEFORMAT (.)
Ротор также можно записать с помощью определителя:
404\* MERGEFORMAT (.)
Отметим, что:
.
Теорема Стокса.
Рассмотрим
произвольную поверхность S в поле
вектора
,
которая ограничена контуром l (рис.
17). Разобьём эту поверхность произвольным
образом на сетку из бесконечного числа
бесконечно малых площадок, для любой
такой площадки, пользуясь определением
ротора (1.49), можно записать:
, 505\* MERGEFORMAT (.)
где dS -
бесконечно малая площадка, охваченная
контуром li. Правая часть
равенства (1.53) есть скалярное произведение
вектора
на вектор-площадку
и является потоком ротора вектора
через площадку
:
.
Суммируя
последнее выражение по всем элементарным
площадкам получим поток ротора вектора
через площадку S:
.
При
суммировании левых частей равенства
(1.53) следует учесть, что интегралы по
всем смежным сторонам войдут в сумму
два раза и при том с разными знаками.
Так смежная сторона площадок 1 и 2 в
циркуляции по контуру площадки 1 по
часовой стрелке будет пройдена слева
направо, а в циркуляции по контуру
площадки 2 по часовой стрелке - справа
налево. Следовательно, в результате
суммирования интегралы по всем внутренним
сторонам контуров li взаимно
уничтожатся и останутся только интегралы
по сторонам, лежащим на внешнем контуре
l, сумма которых равна циркуляции
вектора
по внешнему контуру l:
.
Таким образом получаем равенство, именуемое теоремой Стокса:
‑ 606\* MERGEFORMAT (.)
Циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна потоку его ротора через поверхность, ограниченную этим контуром.
Рис. 17. К доказательству теоремы Стокса.
Из теоремы Стокса (1.54) вытекает, что поток ротора через поверхность S зависит только от формы и положения контура l, ограничивающего эту поверхность и не зависит от её формы, см. рис. 18.
Рис. 18. Три произвольные поверхности, опирающиеся на один контур l.