Вопросы к экзамену+ответы(шпоры). Р-РС-ЭП 2 курс, 2 семестр Рябов Н.И. / Ответы / 3.0

3. Законы Кирхгофа, использование для расчёта электрических цепей.

Уравнение называют первым законом Кирхгофа, который формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узле, равна нулю в любой момент времени. При этом с положительным (отрицательным) знаком учитывают токи, направленные от узла (к узлу).

Для узла на рис. 1.17 уравнение по первому закону Кирхгофа записывается следующим образом:

i₁-i₂+i₃-i₄=0.

Если в уравнении токи источников тока перенести в правую часть, то получается

, (1.13)

где — алгебраическая сумма токов источников тока; — алгебраическая сумма токов других ветвей (элементов). В уравнении с положительным (отрицательным) знаком записывают ток источника J_k, направленный к узлу (от узла), и ток i_k, направленный от узла (к узлу).

Например, если ток i₄ представляет собой ток источника тока, т. е. i₄=J₄ (рис. 1.17), то в соответствии с равенством

i₁-i₂+i₃=J₄.

Из закона электромагнитной индукции следует:

(1.16)

Уравнение называют вторым законом Кирхгофа, который формулируется следующим образом: алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю в любой момент времени. При этом с положительным (отрицательным) знаком учитывают напряжения, положительные направления которых совпадают (противоположны) направлению обхода контура.

На рис. 1.18 показан пример контура цепи; путь интегрирования 1-а-2-3-б-4-1 содержит зажимы элементов. Для выбранного пути интеграл в равенстве (1.15) разбивается на четыре слагаемых:

-u₁+u₂-u₃+u₄=0,

где

u₁=₂-₁; u₂=₂-₃; u₃=₄-₃; u₄=₄-₁.

Если напряжения источников перенести в правую часть равенства и заменить на э. д. с., то второму закону Кирхгофа соответствует уравнение

, (1.17)

которое выражает равенство алгебраических сумм напряжений на пассивных элементах и э. д. с. контура. В уравнении с положительным (отрицательным) знаком записывают напряжения и э. д. с., направление которых совпадает (противоположно) с направлением обхода контура.

Например, для контура на рис. 1.18 по второму закону Кирхгофа записывают (выбирая направление обхода по часовой стрелке совпадающим с направлением э. д. с. e₁)

u₂-u₃+u₄=e₁

Уравнения , или и совместно с соотношениями и_r=ri, i=gu_r, , , , , связывающими напряжения и токи каждого элемента, дают полное математическое описание цепи.

Первый закон Кирхгофа Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря, он справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, т.е. справедливо соотношение (1) где - вектор плотности тока; - нормаль к участку dS замкнутой поверхности S. Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения S2 графа на рис. 3, считая, что нумерация и направления токов в ветвях соответствуют нумерации и выбранной ориентации ветвей графа, можно записать . Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа для узлов, что математически можно записать, как: (2) т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю. Второй закон Кирхгофа

- и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с использованием законов Кирхгофа записывается независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других хотя бы одной ветвью. Значение топологического понятия “дерева”: дерево позволяет образовать независимые контуры и сечения и, следовательно, формировать независимые уравнения по законам Кирхгофа. Таким образом, с учетом (m-1) уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, получаем систему из уравнений, что равно числу ветвей схемы и, следовательно, токи в них находятся однозначно.