Вопросы к экзамену+ответы(шпоры). Р-РС-ЭП 2 курс, 2 семестр Рябов Н.И. / Ответы / 8.0

8. Теорема об активном двухполюснике, применение для расчёта электрических цепей.

ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА

Очень важным принципом эквивалентности, широко применяемым при анализе линейных электрических цепей, является принцип эквивалентного генератора (теорема об активном двухполюснике, или теорема Гельмгольца — Тевенена). Он формулируется следующим образом: любая линейная электрическая цепь, рассматриваемая относительно двух выводов (активный двухполюсник), эквивалентна реальному источнику с ЭДС, равной напряжению между этими выводами при размыкании внешнего участка цепи, подключенного к этим выводам (режим холостого хода), и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению пассивного двухполюсника, получающегося при равенстве нулю всех ЭДС для источников ЭДС и токов для источников тока рассматриваемого двухполюсника. Применимость этого принципа к любой линейной электрической цепи доказывается на основании принципов компенсации и наложения.

Пусть в электрической цепи выделен активный двухполюсник и ветвь с сопротивлением r (рис. 5.14, а), которое может быть и изменяющимся. Применив принцип компенсации, получим эквивалентную схему (рис. 5.14,6), для которой

Е=U=rI. (5.19)

Теперь применим принцип наложения и составим две схемы с двумя частными режимами: в первой из них (рис. 5.14, в) действуют только источники внутри активного двухполюсника, а ЭДС, полученная по принципу компенсации, полагается равной нулю, а во второй (рис. 5.14, г) действует только ЭДС компенсации (5.19), а двухполюсник считается пассивным. Его входное сопротивление r_ВХ.

Ток в ветви с сопротивлением r по принципу наложения равен сумме частичных токов I=I'+I"=I_К-U/r_ВХ, т. е. U=r_ВХ(I_К-I), I=I_K-rI/r_ВХ, I(r_ВХ+r)/r_ВХ=I_K.

В частности, в режиме холостого хода I=0 и U=U_Х=r_ВХI_К. Следовательно,

U=U_Х-r_ВХI=rI. (5.20)

Последнее уравнение соответствует эквивалентной схеме, показанной на рис. 5.14, д с ЭДС Е_ЭК=U_Х, выражающей сформулированный выше принцип. Согласно (5.20) ток

I=Е_ЭК/(r_ВХ+r)=U_Х/(r_ВХ+r). (5.21)

Если источник ЭДС преобразовать в источник тока, то схема эквивалентного генератора получится такой, как на рис. 5.14, е. Вольт-амперная или внешняя характеристика эквивалентного генератора по рис. 5.14, д или е показана на рис. 5.14, ж.

Следует заметить, что обе схемы эквивалентного генератора применимы только для расчета токов и напряжений в участке цепи, подключенном к рассматриваемому активному двухполюснику. Для мощностей, развиваемых источниками, и мощностей потерь внутри активного двухполюсника схемы замещения, полученные на основании принципа эквивалентного генератора, неадекватны.

Применение принципа эквивалентного генератора позволяет упростить решение многих задач, и поэтому его применение иногда относят к методам расчета, хотя он и носит более общий характер.

Применение принципа эквивалентного генератора весьма удобно при рассмотрении пассивного четырехполюсника, к одной паре выводов которого подключен источник ЭДС Е₁, а к другой паре выводов — приемник с сопротивлением r (рис. 5.15, а). Такую схему со стороны выводов 1-1 можно рассматривать как пассивный двухполюсник с сопротивлением r_1ВХ (рис. 5.15,6), а со стороны выводов 2-2' - как активный двухполюсник с входным сопротивлением r_2ВХ и э.д.с. Е_ЭК (рис. 5.15, в).

Если, например, пассивный четырехполюсник имеет схему, показанную на рис. 5.15, г, то параметры эквивалентной схемы

r_1ВХ=r₁+r₃(r+r₂)/(r₃+r₂+r); r_2ВХ=r₂+r₁r₃/(r₁+r₃); Е_ЭК=Е₁r₃/(r₁+r₃)

Представление четырехполюсника в виде эквивалентной схемы, изображенной на рис. 5.15, в, применяется при рассмотрении электронных схем. Для приемника с сопротивлениями r схемы рис. 5.15, а и в полностью эквивалентны. Однако если рассчитать мощность пассивного четырехполюсника (в сопротивлениях r₁ r₂ и r₃) и мощность потерь в эквивалентной схеме (сопротивление r_2ВХ), то эти мощности могут оказаться равными только в редких частных случаях.

Интересно сопоставить принцип эквивалентного генератора с принципом компенсации. И тот и другой дают возможность представить двухполюсник в виде эквивалентного источника, однако принцип компенсации приводит к идеальному источнику ЭДС (без внутреннего сопротивления), а принцип эквивалентного генератора — к реальному источнику (с внутренним сопротивлением r_ВХ). ЭДС источника, полученного на основании принципа компенсации, зависит от тока, а параметры источника, полученного на основании принципа эквивалентного генератора, не зависят от режима работы подключенного к активному двухполюснику участка цепи. Принцип компенсации применим как к линейным, так и к нелинейным цепям. Принцип эквивалентного генератора применим только к линейным цепям.

Пример. По принципу эквивалентного генератора найти выражение для тока I₀ в ветви с измерительным прибором (рис. 5.16, д), если ток источника тока J=10 мА, сопротивление r=100 Ом, сопротивление измерительного прибора. r₀=50 Ом, а сопротивления r₁ двух противоположных плеч моста изменяются одновременно от нуля до 2r; построить график изменения тока I₀ в зависимости от сопротивления r₁.

Решение. Разомкнем ветвь с измерительным прибором (рис. 5.16,б), отключив прибор, и найдем токи I_1Х=I_2Х=J/2.

Напряжение U_Х (рис. 5.16,6) определим из уравнения r₁J/2+U_Х-rJ/2=0, откуда U_Х=(r‑r₁)J/2.

Входное сопротивление двухполюсника относительно выводов ветви с измерительным прибором (рис. 5.16, в) r_ВХ=(r‑r₁)/2.

По принципу эквивалентного генератора (5.21)

I₀=U_Х/(r_ВХ+r₀)=J(r‑r₁)/(2r₀+r+r₁)

Подставляя численные значения, получим:

I₀=10(100-r₁)/(100+100+r₁)

На рис. 5.16, г показан график изменения тока I₀ в зависимости от сопротивления r₁. Из рисунка видно, что зависимость тока от сопротивления нелинейная (в отличие от линейных соотношений между ЭДС, напряжениями и токами при изменении сопротивления) и что при изменении сопротивления r₁ изменяется не только значение тока I₀, но и его направление.

ПЕРЕДАЧА ЭНЕРГИИ ОТ АКТИВНОГО ДВУХПОЛЮСНИКА К ПАССИВНОМУ

Для исследования передачи энергии от активного двухполюсника к пассивному вернемся к эквивалентной схеме, показанной на рис. 5.14, д, и будем считать, что r_ВХ — входное сопротивление активного двухполюсника (источника энергии) и Е_ЭК=U_Х — эквивалентная ЭДС остаются постоянными, а r — входное сопротивление пассивного двухполюсника может принимать любое значение.

Прежде всего установим соотношение между сопротивлениями r_ВХ и r, при выполнении которого мощность пассивного двухполюсника максимальна.

Мощность пассивного двухполюсника определяется выражениями

Р=Е_ЭКI-r_ВХI²=U_ХI-r_ВХI² (5.22)

Р=rI², (5.23)

где Е_ЭКI=U_ХI — мощность, развиваемая эквивалентным активным двухполюсником; r_ВХI² — мощность потерь в этом двухполюснике (в сопротивлении r_ВХ).

Для определения тока I, при котором мощность Р максимальна, найдем производную от Р по I из уравнения (5.22) и приравняем ее нулю:

dР/dI=U_Х-2r_ВХI=0,

откуда искомый ток I=U_Х/(2r_ВХ) [уравнением (5.23) пользоваться нельзя, так как его правая часть содержит две переменные: r и I].

В общем случае (рис. 5.14, д) ток I=U_Х/(r_ВХ+r). Значит, мощность максимальна при

r=r_ВХ, (2.24)

т. е. при равенстве входных сопротивлений пассивного и активного двухполюсников.

По (5.23) при r=r_ВХ мощность

P_МАКС=U_Х²/(4r_ВХ).

Отношение мощности Р пассивного двухполюсника к мощности Р_А=U_ХI, развиваемой эквивалентным активным двухполюсником, называется КПД эквивалентного активного двухполюсника:

. (5.25)

Из (5.25) следует, что при максимальной мощности пассивного двухполюсника КПД равен 0,5. Более высокие значения КПД будут при r>r_ВХ.

КПД реального активного двухполюсника равен КПД эквивалентного только при выполнении определенного условия. Если при отключении пассивного двухполюсника от реального активного в ветвях последнего не будет токов и потерь, так же как и в эквивалентной схеме на рис. 5.14, д, то КПД реального и эквивалентного активных двухполюсников равны. При невыполнении этого условия КПД реального активного двухполюсника меньше КПД эквивалентного двухполюсника.

Полученные результаты применим, например, для характеристики режима линии передачи электрической энергии небольшой длины, у которой утечкой тока (между проводами) можно пренебречь.

Если в начале линии передачи напряжение U₁ поддерживается неизменным (рис. 5.17, а), то линию можно представить в виде последовательного соединения активного двухполюсника с источником ЭДС Е_ЭК=U_Х=U₁ (без внутреннего сопротивления), резистивного элемента, учитывающего сопротивление проводов r_Л, и пассивного двухполюсника — приемника с сопротивлением r (рис. 5.17, а). По (5.22) и (5.25) найдем мощность Р₂ приемника и КПД линии передачи:

(2.26)

Мощность, развиваемая источником,

P₁=U₁I;

напряжение на выводах приемника

U₂=U₁-r_ЛI.

По полученным уравнениям на рис. 5.17,6 построены зависимости U₂, P₁ Р₂ и  от тока I, полностью характеризующие режим линии.

При r= (холостой ход линии) ток I=0 (на рис. 5.17, б — точка в начале координат), при r=r_Л ток определяется отрезком 0а и при r=0 (короткое замыкание линии) значение тока максимально и равно I_К. Кроме того, при r=r_Л мощность Р₁ определяемая отрезком ас, равна удвоенной мощности приемника (ас=2аb=2bc), и КПД =0,5.

Рис. 5.17

По эквивалентной схеме (рис. 5.17, а) установим еще связь между потерями в проводах линии (в сопротивлении r_Л) и мощностью приемника Р₂:

, (2.27)

где l — длина линии; S — сечение каждого провода.

Из (2.27), в частности, следует, что при Р₂ =const с повышением напряжения U₂ требуется меньшее значение тока I и, следовательно, уменьшаются потери в проводах, что в свою очередь позволяет уменьшить сечение проводов. Конечно, при этом надо усилить изоляцию проводов линии.

В случае передачи по линии электрической энергии при большой мощности стремятся получить возможно больший КПД, для чего необходимо, как непосредственно следует из (5.26), иметь r_Л<<r. При передаче сигналов по линии связи стремятся получить максимальную мощность в приемнике, что приводит к низкому значению КПД.