21. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Дифференциальные уравнения, начальные условия. Законы коммутации.
Коммутация – это какое-либо включение, выключение, переключение пассивных и активных ветвей и элементов схемы, приводящее к изменению конфигурации схемы или ее параметров. Предполагается, что коммутация совершается мгновенно (время коммутации равно нулю). Момент времени непосредственно до коммутации называется: 0‑ (“минус ноль”, момент непосредственно после: 0+ (“плюс ноль”).
Для схемы до коммутации и после коммутации характерны некоторые установившиеся режимы. В результате коммутации в схеме возникает некий режим перехода от установившегося процесса до коммутации к установившемуся процессу после коммутации. Это и есть переходный процесс. Теоретически длительность переходного процесса равна бесконечности, т.е. режим в цепи асимптотически приближается к установившемуся. Практически малым отличием режима от установившегося пренебрегают, и считают, что длительность переходного процесса конечна.
Законы коммутации.
-
В индуктивном элементе ток и магнитный поток в момент коммутации не изменяются, т.е.
(1)
Ток индуктивности сразу после коммутации равен току индуктивности непосредственно перед коммутацией (то же для магнитных потоков). В переходном процессе ток индуктивности и ее магнитный поток изменяются, начиная с этого значения.
-
Напряжение емкостного элемента и его заряд в момент коммутации не изменяются.
(2)
Напряжение на емкости и ее электрический заряд сразу после коммутации равны напряжению на емкости и электрическому заряду непосредственно перед коммутацией. В переходном процессе напряжение на емкости и ее электрический заряд изменяются, начиная с этого значения.
Обоснование законов
Если в момент коммутации
меняется скачком, то
и, следовательно,
из-за чего нарушается второй закон
Кирхгофа, чего не может быть.
Аналогично.
Если в момент коммутации
меняется скачком, то
и, следовательно,
из-за чего нарушается первый закон
Кирхгофа, чего не может быть.
Обоснование законов коммутации из закона сохранения энергии.
Энергия магнитного поля индуктивности:
Энергия электрического поля емкости:
,
- мощность.
,
,
если
или
меняются скачком, то соответствующая
мощность
и
стремятся к
,
следовательно, для скачкообразного
изменения
или
схему надо подключить к источнику
питания бесконечной мощности, чего быть
не может.
Сформулированные законы коммутации не являются универсальными: существуют схемы, для которых они не выполняются. Эти схемы называются некорректными, для их расчета существуют специальные методы.
Значения
в начальный момент времени токов
индуктивностей
и напряжений на ёмкостях
называются независимыми начальными
условиями. Значения других величин в
начальный момент времени
,
,
,
называются зависимыми начальными
условиями, они могут изменяться скачком
в момент коммутации и определяются по
независимым начальным условиям с помощью
первого и второго закона Кирхгофа.
Зависимость токов и напряжений в схеме от времени представляем в виде суммы двух составляющих: принужденной и свободной:
, 
.
(3)
Принужденная составляющая описывает установившийся режим цепи после коммутации, она определяется свойствами цепи и источника питания. Если источник постоянный, то установившийся режим постоянный и принужденная составляющая постоянная. Если источник периодический, то установившийся режим и принужденная составляющая ‑ периодические.
Свободная составляющая отражает зависимость переходного процесса от свойств цепи – конфигурации и параметров.
Математически переходный процесс в линейной схеме описывается линейным обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами n-ого порядка, где n число индуктивностей и емкостей в схеме, т.е. элементов, накапливающих энергию, источники напряжения и тока входят в правую часть этого ОДУ. Принужденная составляющая является частным решением неоднородного ОДУ, свободная составляющая – общим решением однородного ОДУ. Для ОДУ n-ого порядка требуется n начальных условий. Они могут быть получены из n независимых условий: токов индуктивностей и напряжений емкостей в момент коммутации.
Метод расчета переходных процессов в линейных цепях состоящий в поиске решения ОДУ n-ого порядка называется классическим методом расчета переходных процессов. При этом само ОДУ в явном виде не записывается.