37. Стационарные электрические и магнитные поля. Ток смещения.
Стационарные электрические и магнитные поля.
Электрический ток через замкнутую поверхность S ‑ скорость изменения электрического заряда Q в объёме V, ограниченном поверхность S, с обратным знаком:
, 101\* MERGEFORMAT (.)
т.е. положителен вытекающий ток.
Электрический ток есть поток вектора плотности тока:
. 202\* MERGEFORMAT (.)
Вводя понятие тока через участок поверхности:
,
получим:
.
Основные законы электрического тока.
Из (1.31) следует:
,
по теореме Остроградского-Гаусса:
,
следовательно, справедлива дифференциальная форма уравнения (1.31):
. 303\* MERGEFORMAT (.)
Закон Ома в дифференциальной форме:
, 404\* MERGEFORMAT (.)
где g - удельная проводимость среды.
Рассмотрим постоянный ток:
,
следовательно:
, 505\* MERGEFORMAT (.)
. 606\* MERGEFORMAT (.)
Эти уравнения называются первым законом Кирхгофа в дифференциальной и интегральной форме.
Рис. 12. Проводник с постоянным током.
Линии постоянного тока не имеют стоков и истоков, следовательно, цепь постоянного тока должна быть замкнута. Нормальная составляющая тока на границе проводник – диэлектрик равна нулю. Применим первый закон Кирхгофа в интегральной форме к проводнику, находящемуся в диэлектрической среде (рис. 12):
,
учитывая, что на поверхности раздела проводник – диэлектрик S0 нормальная составляющая плотности тока равна нулю, получим:
,
т.к. нормали S1 и S2 направлены в противоположные стороны, то вводя общую нормаль так, что:
,
имеем:
.
Таким образом, величина постоянного тока, проходящего через поперечное сечение проводника, постоянна по всей его длине.
Напишем
закон Ома в интегральной форме для
участка проводника,
- элемент длины проводника, направление
совпадает с направлением тока:
,
если ток распределён по сечению равномерно, то:
. 707\* MERGEFORMAT (.)
В этом уравнении левая часть есть разность потенциалов на границах участка l,
. 808\* MERGEFORMAT (.)
Сопротивление проводника:
. 909\* MERGEFORMAT (.)
Интегральная форма закона Ома:
.
Закон Ома в дифференциальной форме является универсальным соотношением, справедливым и для постоянного и для переменного тока, закон Ома в интегральной форме справедлив, строго говоря, только для постоянного тока.
Первый закон Кирхгофа для разветвления проводников. Окружим узел замкнутой поверхностью S. Т.к. проводимость g не равна нулю только на участках S1, S2 и S3 поверхности S, то согласно первому закону Кирхгофа в интегральной форме, получим:
,
или
I1+I2+I3=0
Рис. 13. Разветвление проводников с током.
Ток смещения
Из первого закона Кирхгофа в дифференциальной форме (1.35) следует, что линии плотности постоянного тока замкнуты. В общем случае, линии плотности переменного тока незамкнуты и имеют истоки и стоки в точках с изменяющейся плотностью заряда.
Плотность тока в общем случае удовлетворяет уравнению (1.33), дивергенция вектора электрического смещения равна заряду(1.15):
,
отсюда следует:
меняя порядок дифференцирования, получаем:
. 10010\* MERGEFORMAT (.)
Из уравнения (1.40) следует, что вектор, являющийся суммой плотности тока и производной по времени электрического смещения, непрерывен.
По определению, ток смещения есть:
. 11011\* MERGEFORMAT (.)
Полный ток есть сумма тока проводимости и тока смещения:
. 12012\* MERGEFORMAT (.)