4. Логарифмически нормальное распределение

Логарифмически нормальное распределение нашло широкое применение в вопросах техники, биологии, экономики и теории надежности. Его успешно применяют дня описания наработки до отказа подшипников, электронных ламп и других изделий.

Неотрицательная случайная величина распределена логарифмически нормально, если ее логарифм распределен нормально. Плотность распределения для различных значений σ приведена на рис. 3.

Плотность распределения описывается зависимостью

(18)

где М и σ — параметры, оцениваемые по результатам п испытаний до отказа;

(19)

Для логарифмически нормального закона распределения функция надежности выглядит так:

(20)

Рис. 3. Плотность логарифмически нормального распределения.

Вероятность безотказной работы можно определить по таблицам для нормального распределения (см. табл.П.1 приложения) в зависимости от значения квантили

Математическое ожидание наработки до отказа

(21)

Среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации соответственно равны:

(22)

(23)

При vx ≤. 0,3 полагают, что vx = σ, при этом ошибка не более 1%.

Часто применяют запись зависимостей для логарифмически нормального закона в десятичных логарифмах. В соответствии с этим законом плотность распределения

(24)

Оценки параметров lg x₀ и σ определяют по результатам испытаний:

(25)

Математическое ожидание Мx, среднее квадратическое отклонение σx и коэффициент вариации vx наработки до отказа соответственно равны:

(26)

(27)

(28)

Пример 6. Определить вероятность безотказной работы редуктора в течение t =10³ ч, если ресурс распределен логарифмически нормально с параметрами lg t₀ = 3,6, σ =0,3.

Р е ш е н и е. Найдем значение квантили и по ней определим вероятность безотказной работы (табл. П.1 приложения):

Ответ: P(t)=0,0228.

5. Распределение Вейбулла.

Закон Вейбулла представляет собой деухпараметрическое распределение. Этот закон является универсальным, так как при соответствующих значениях параметров превращается в нормальное, экспоненциальное и другие виды распределений. Автор данного закона использовал его при описании экспериментально наблюдавшихся разбросов усталостной прочности стали, пределов ее упругости. Закон Вейбулла удовлетворительно описывает наработку до отказа подшипников, элементов радиоэлектронной аппаратуры, его используют для оценки надежности деталей и узлов машин, в частности автомобилей, а также для оценки надежности машин в процессе их приработки. Плотность распределения описывается зависимостью

(29)

где α — параметр формы кривой распределения; λ — параметр масштаба; е =2,71828 — основание натурального логарифма.

График плотности распределения дан на рис. 4.

Функция распределения Вейбулла

(30)

Функция надежности для этого закона:

(31)

Математическое ожидание случайной величины X равно:

(32)

где Г(х) — гамма-функция. Для непрерывных значений х

(33)

Для целочисленных значений х гамма-функцию вычисляют по формуле

Г(x) = (x -1)!; (34)

(35)

(36)

Дисперсия случайной величины равна:

(37)

Рис. 4. Плотность распределения Вейбулла для λ=1

Широкое применение закона распределения Вейбулла объясняется тем, что этот закон, обобщая экспоненциальное распределение, содержит дополнительный параметр α. Подбирая нужным образом параметры α и λ, можно получить лучшее соответствие расчетных значений опытным данным по сравнению с экспоненциальным законом, который является однопараметрическим (параметр λ).

Так, для изделий, у которых имеются скрытые дефекты, но которые длительное время не стареют, опасность отказа имеет наибольшее значение в начальный период, а потом быстро падает. Функция надежности для такого изделия хорошо описывается законом Вейбулла с параметром α<1.

Наоборот, если изделие хорошо контролируется при изготовлении и почти не имеет скрытых дефектов, но подвергается быстрому старению, то функция надежности описывается законом Вейбулла с параметром α>1. При α =3.3 распределение Вейбулла близко к нормальному.