III уровень
3.1. Экзамены по истории Беларуси и геометрии сдавали 150 студентов одного курса: 15 из них не сдали экзамен по геометрии, 10 – по истории Беларуси, а 5 человек не сдали двух экзаменов. Найдите вероятность того, что случайно выбранный студент:
1) не сдал экзамен по истории и сдал экзамен по геометрии;
2) сдал экзамен по истории и не сдал экзамен по геометрии.
3.2. В урне находятся 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найдите вероятность того, что среди них имеется:
1) 2 белых шара; 2) меньше чем 2 белых шара;
3) хотя бы один белый шар.
3.3. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени T безотказно соответственно с вероятностями 0,851, 0,751 и 0,701. Найдите вероятность того, что за время T выйдет из строя:
1) только один элемент; 2) хотя бы один элемент.
3.4. В первой урне находятся 6 белых и 4 черных шаров, а во второй урне – 5 белых и 7 черных шаров. Из первой урны случайно взяли 3 шара, а из второй – 2 шара. Найдите вероятность того, что среди вынутых шаров:
1) все шары одного цвета; 2) только три белых шара;
3) хотя бы один шар белый.
3.5. Определите,
сколько раз нужно подбросить два
игральных кубика, чтобы вероятность
выпадения хотя бы один раз двух шестерок
была бы больше
3.6. Имеются две урны. В первой находятся 1 белый шар, 3 черных и 4 красных, во второй – 3 белых, 2 черных и 3 красных шара. Из каждой урны наугад извлекают по одному шару, после чего сравнивают их цвета. Найдите вероятность того, что цвета извлеченных шаров совпадают.
3.7. Консультационная фирма претендует на 2 заказа от двух корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения консультационной работы в корпорации A равна 0,45. Эксперты также полагают, что если фирма получит заказ от корпорации A, то вероятность того, что и корпорация B обратится к ним, равна 0,85. Найдите вероятность того, что консультационная фирма получит оба заказа.
3.8. В городе 3 коммерческих банка, оценка надежности которых – 0,95, 0,9 и 0,85 соответственно. В связи с определением хозяйственных перспектив развития города администрацию интересуют ответы на следующие вопросы:
1) какова вероятность того, что в течение года обанкротятся все 3 банка;
2) какова вероятность того, что в течение года обанкротится хотя бы один банк?
3.9. Три студента сдают экзамен. Вероятности успешной сдачи экзамена первым, вторым и третьим студентом равны соответственно 0,85, 0,7 и 0,52. Вычислите вероятности следующих случайных событий:
1) один студент сдаст экзамен;
2) два студента сдадут экзамен;
3) хотя бы один студент сдаст экзамен.
3.10. Покупатель может приобрести акции трех компаний: A, B и C. Надежность первой оценивается экспертами на уровне 80 %, второй – 91 % и третьей – 78 %. Найдите вероятность того, что:
1) только одна компания в течение года станет банкротом;
2) две компании обанкротятся;
3) наступит хотя бы одно банкротство.
3.11. В отдел уголовного розыска поступило сообщение о том, что 5 неизвестных лиц взломали сейф кассы колхоза и похитили крупную сумму денег. Свидетели успели заметить, что грабители сели в автобус, следующий по маршруту в соседний город. Об этом стразу же была поставлена в известность милиция. Как только автобус остановился на автовокзале, к нему подошел инспектор уголовного розыска и запретил кондуктору открывать дверь автобуса. Тот сообщил инспектору, что в автобусе 40 пассажиров. Обыск может привести к значительной задержке автобуса. Инспектор успокоил кондуктора: «Мне достаточно проверить 6 пассажиров и сможете ехать дальше!» Он предложил шестерым наугад выбранным пассажирам зайти в кабинет начальника вокзала. Один преступник был сразу же обнаружен – в его кармане нашли пачку денег. Он назвал сообщников, и дело было закончено. Определите, что руководило инспектором: риск или трезвый расчет.
3.12. Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше появится герб. Найдите вероятности выигрыша для каждого из игроков.
3.13. Вероятность улучшения спортсменом личного достижения по прыжкам в длину равна p. Найдите, чему равна вероятность того, что он улучшит свой результат, если ему предоставлена возможность прыгать 3 раза.
3.14. Происходит воздушный бой между двумя самолетами: истребителем и бомбардировщиком. Стрельбу начинает истребитель: он дает по бомбардировщику один выстрел и сбивает его с вероятностью p1. Если бомбардировщик этим выстрелом не сбит, он стреляет по истребителю и сбивает его с вероятностью p2. Если истребитель этим выстрелом не сбит, он еще раз стреляет по бомбардировщику и сбивает его с вероятностью p3.
Найдите вероятности следующих исходов боя:
A – сбит бомбардировщик;
B – сбит истребитель;
C – сбит хотя бы один из самолетов.