III уровень

3.1. Найдите выборочную среднюю по данному распределению выборки объема

xi	2560	2600	2620	2650	2700
ni	5	4	7	3	1

3.2. Произведено 16 измерений начальной скорости снаряда. Результаты измерений (в метрах в секунду) представлены в виде ряда:

i	xi	i	xi	i	xi	i	xi
1 2 3 4	1235,6 1237,5 1232,9 1236,2	5 6 7 8	1238,5 1234,2 1235,9 1233,3	9 10 11 12	1234,5 1236,8 1237,6 1233,1	13 14 15 16	1234,3 1237,5 1235,4 1234,7

Вычислите оценки математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения начальной скорости снаряда.

3.3. Случайная величина X (число семян сорняков в пробе зерна) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение семян сорняков в пробах зерна (в первой строке указано количество x_i сорняков в одной пробе; во второй строке указана частота n_i – число проб, содержащих x_i семян сорняков):

xi	0	1	2	3	4	5	6
ni	405	366	175	40	8	4	2

Найдите методом моментов точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона.

3.4. Случайная величина X (отклонение контролируемого размера изделия от номинала) подчинена нормальному закону распределения с неизвестными параметрами a и . Ниже приведено эмпирическое распределение отклонения от номинала изделий (в первой строке указано отклонение x_i (в миллиметрах); во второй строке приведена частота n_i – количество изделий, имеющих отклонение x_i):

xi	0,3	0,5	0,7	0,9	1,1	1,3	1,5	1,7	1,9	2,2	2,3
ni	6	9	26	25	30	26	21	24	20	8	5

Найдите методом моментов точечные оценки неизвестных параметров a и  нормального распределения.

3.5. Найдите минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известно среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности

3.6. Найдите доверительный интервал для математического ожидания расстояния до ориентира с надежностью если при 10 независимых измерениях получены значения этого расстояния (в метрах): 25025, 24970, 24780, 25315, 24907, 24646, 24717, 25354, 24912, 25374. Предполагается, что ошибка измерения распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением м.

3.7. Среди 250 деталей, изготовленных станком-автоматом, оказались 32 нестандартных. Найдите доверительный интервал, покрывающий с надежностью 0,99 неизвестную вероятность p изготовления станком нестандартной детали.

3.8. При испытаниях 1000 элементов зарегистрировано 100 от­казов. Найдите доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность p отказа элемента с надежностью:

1) 0,95; 2) 0,99.

3.9. По данным 16 независимых равноточных измерений физической величины найдены среднее арифметическое результатов отдельных измерений и исправленное среднее квадратическое отклонение Оцените истинное значение a измеряемой величины и точности измерений  с надежностью 0,95.