III уровень

3.1. По мишени производятся 6 независимых выстрелов с вероятностью попадания при каждом выстреле p = 0,6. Найдите:

1) закон распределения дискретной случайной величины Х, рав­ной числу попаданий в мишень;

2) вероятности событий:

3) М(х), D(х), (х).

3.2. В урне 9 шаров, из которых 5 белые, а остальные чер­ные. Из этой урны наудачу извлекают 4 шара. Х – число извле­ченных белых шаров. Найдите:

1) закон распределения дискретной случайной величины Х;

2) вероятность события

3) M(X), D(X), (X).

3.3. Сообщение содержит 1000 символов. Вероятность иска­жения одного символа равна 0,003. Найдите:

1) среднее число искаженных символов;

2) вероятность того, что будет искажено не более 4-х символов.

3.4. В радиоаппаратуре за 10 000 ч непрерывной работы происходит замена 10 элементов. Найдите вероятность выхода из строя радиоаппаратуры из-за поломки элементов за 100 ч не­прерывной работы.

3.5. Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение второго – Найдите вероятность того, что за время дли­тельностью t = 6 ч:

1) оба элемента откажут;

2) оба элемента не откажут;

3) только один элемент откажет;

4) хотя бы один элемент откажет.

3.6. Плотность вероятностей случайной величины Х имеет вид:

Найдите c, M(X), D(X), F(X),

3.7. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса 1,06 кг. Известно, что 5 % коробок имеют массу, меньшую 1 кг. Определите, количество коробок, масса которых превышает 940 г (в процентах).

3.8. Нормально распределенная случайная величина Х за­дана плотностью:

Найдите моду и медиану Х.

3.9. Автобусы идут с интервалом 5 мин. Предполагая, что время Х ожидания автобуса на остановке имеет равномерное распределение, найдите:

1) функцию распределения;

2) плотность вероятностей;

3) вероятность того, что время ожидания не превзойдет 2 мин;

4) постройте графики плотности вероятностей и функции распределения.

3.10. Случайная величина Х имеет плотность вероятностей (закон Лапласа):

 > 0.

Найдите коэффициент a и функцию распределения.

Постройте графики плотности вероятностей и функции распределения.

3.11. Функция распределения случайной величины Х задана графиком (рис. 31.6). Найдите математическое ожидание и дисперсию величины Х.

Рис. 31.6

3.12. Случайная величина Х подчинена показательному закону распределения с параметром :

Постройте кривую распределения. Найдите:

1) функцию распределения F(x);

2) вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее, чем ее математическое ожидание.

3.13. Пусть случайная величина Х распределена по нормаль­ному закону с плотностью

Найдите вероятное отклонение данной случайной, т. е. та­кую постоянную , что

3.14. Автомат производит шарики. Шарик считается год­ным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением   = 0,4 мм, найдите, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.

3.15. Случайная величина Х распределена нормально, при­чем математическое ожидание a = 0 и среднее квадратическое отклонение равно . Найдите значение , при котором вероят­ность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (; ) ( > 0,  > ), будет наибольшей.