I уровень

1.1. В дополнительной регулировке нуждаются 15 % изделий, выпускаемых данным предприятием. Наудачу отобрано 200 изделий. Найдите среднее значение и дисперсию случай­ной величины Х – числа изделий в выборке, нуждающихся в регулировке.

1.2. Найдите среднее число лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 30 билетов, а вероятность выигрыша одного билета равна 0,1. Найдите дисперсию числа успехов в данном опыте.

1.3. Проверяется партия из 15 000 изделий. Вероятность того, что изделие окажется бракованным, равна 0,002. Найдите ма­тематическое ожидание и дисперсию числа бракованных изделий в этой партии.

1.4. Производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равно 0,4. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа произведенных выстрелов, считая, что стрелять можно неограниченное число раз.

1.5. Про случайную величину Х известно, что она имеет равномерное распределение на отрезке [3; 8]. Найдите:

1) f(x); 2) М(х) и (х); 3)

1.6. Случайная величина Х распределена на отрезке [4; 12] с постоянной плотностью. Вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, а также

1.7. Найдите плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр  = 6.

1.8. Случайная величина Х распределена по показательному закону с параметром  = 0,4. Найдите дифференциальную и ин­тегральную функции распределения (т. е. f(x) и F(x)), (х), а так­же вероятность попадания значений случайной величины Х в интервал (0,25; 5).

1.9. Найдите параметр  показательного распределения:

1) заданного плотностью f(x) = 0 при x < 0, при

2) заданного функцией распределения F(x) = 0 при x < 0 и при

1.10. Пусть случайная величина Х распределена по нормаль­ному закону с параметрами a = 30 и   = 10. Найдите вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10; 50).

1.11. Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами a = 20 и   = 10. Найдите

1.12. Рост взрослой женщины является случайной величи­ной, распределенной по нормальному закону с параметрами: a = 164 см,   = 5,5 см. Найдите плотность вероятностей.

1.13. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 0 и 2. Найдите вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (–2; 3).

1.14. Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами: a = 375 г,   = 25 г. Найдите вероятность того, что вес пойманной рыбы будет от 300 до 425 г.

1.15. Диаметр детали, изготовленной цехом, является слу­чайной величиной, распределенной по нормальному закону. Ее дисперсия равна 0,0001, а математическое ожидание – 2,5 см. Найдите границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали.

II уровень

2.1. Производятся 3 независимых испытания, в каждом из которых вероятность наступления некоторого события посто­янна и равна p. Пусть Х – число появлений события A в этом опыте. Найдите D(х), если известно, что М(х) = 2,1.

2.2. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4. Определите, сколько надо произвести выстрелов, чтобы можно было ожидать в среднем 80 попаданий в цель.

2.3. Проверяется партия из 20 000 изделий. Вероятность того, что изделие окажется бракованным, равна 0,002. Найдите:

1) математическое ожидание и дисперсию числа бракованных изделий в этой партии;

2) вероятность того, что в партии есть хотя бы одно бракованное изделие.

2.4. Дискретная случайная величина Х распределена по за­кону Пуассона с параметром a = 0,324. Найдите математическое и среднеквадратическое отклонение этой случайной величины.

2.5. В магазин отправлены 2000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разби­той, равна 0,0015. Найдите:

1) среднее число разбитых бутылок;

2) вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

2.6. Производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа произведенных выстрелов, считая, что в наличии есть всего 6 патронов.

2.7. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет вид:

Найдите A, F(x), M(X), D(X), (X), P{X  [0; 1,1]}.

2.8. Автобусы некоторого маршрута идут строго по распи­санию. Интервал движения – 6 мин. Найдите вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очеред­ной автобус менее 4 мин.

2.9. Случайная величина Х, которая равна длительности рабо­ты элемента, имеет плотность распределения Найдите:

1) среднее время работы элемента;

2) вероятность того, что элемент проработает не менее 400 часов.

2.10. Студент помнит, что плотность показательного распре­деления имеет вид при при Однако он забыл, чему равна постоянная C. Найдите C.

2.11. Считается, что изделие – высшего качества, если от­клонение его размера от номинала не превосходит по абсолют­ной величине 3,6 мм. Случайные отклонения размера изделия от номинала подчиняются нормальному закону со среднеквадра­тичным отклонением, равным 3 мм. Систематические отклоне­ния отсутствуют. Определите среднее число изделий высшего качества, если изготавливается 100 изделий.

2.12. Математическое ожидание показательно распределен­ной случайной величины Х равно М(х) = 5. Найдите вероятность Р(х) > 5.

2.13. Значения веса пойманной рыбы подчиняются нормаль­ному закону распределения с параметрами a = 375 г,  = 25 г. Найдите вероятность того, что вес одной рыбы будет:

1) от 300 до 425 г; 2) больше 300 г.

2.14. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием a = 10. Вероятность попадания Х в интервал (10; 20) равна 0,3. Найдите вероятность попадания Х в интервал (0; 10).

2.15. Плотность вероятностей нормально распределенной случайной величины Х имеет вид:

Найдите:

1) коэффициент c и параметр

2) функцию распределения F(x);

3) вероятность попадания случайной величины Х в промежуток [2; 5].