31.5. Дискретные случайные величины. Функция

распределения. Числовые характеристики

случайных величин

Случайной величиной (СВ), связанной с данным опытом, называется величина, которая при каждом осуществлении этого опыта принимает то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Случайные величины обозначают прописными буквами ла­тинского алфавита X, Y, Z, U, …, а значения, принимаемые ими, – соответствующими строчными буквами x, y, z, u, …

Каждой случайной величине X соответствует некоторое множество чисел, называемое множеством значений, которые может принимать величина X.

Любое правило, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называет­ся законом распределения случайной величины.

Наиболее удобными для изучения являются так называемые дискретные случайные величины. Они характеризуются тем, что могут принимать лишь конечное или счетное множество значений.

Будем говорить, что задана дискретная случайная величина X, если указано конечное или счетное множество чисел

x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, …

и каждому из этих чисел x_i поставлено в соответствие некоторое положительное число p_i (i  N), причем сумма всех p_i равна 1.

Числа x₁, x₂, … называются возможными значениями случайной величины X, а числа p₁, p₂, … – вероятностями этих значений:

Итак, дискретная случайная величина задается таблицей вида:

X	x1	x2	x3	…	xn
P	p1	p2	p3	…	pn

с условием, что числа p₁, p₂, … положительны и

Эту таблицу обычно называют законом распределения дискретной случайной величины X.

Если множество возможных значений случайной величины X бесконечно (счетно), то ряд p₁ + p₂ + … сходится и его сумма равна единице.

Для наглядности закон распределения дискретной случай­ной величины изображают графически, для чего в прямоуголь­ной системе координат строят точки (x_i, p_i) и соединяют их по­следовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ло­маная линия называется многоугольником распределения слу­чайной величины X.

Каждой случайной величине X можно сопоставить функцию F, определенную на всей числовой оси. При любом x₀ значение F(x₀) задается равенством

т. е. F(x₀) есть вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем x₀.

Функция F называется функцией распределения случайной величины X.

Все значения функции распределения F(x) принадлежат отрезку [0; 1], т. е.

Функция F(x) неубывающая, т. е. если

Функция F(x) в точке x₀ непрерывна слева, т. е.

Если функция распределения F(x) задана, то вероятность события вычисляется по формуле

Вероятность того, что случайная величина X примет определенное значение x₀, выражается через функцию распределения по формуле

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Пусть случайная величина X принимает значения x₁, x₂, …, x_n с вероятностями p₁, p₂, …, p_n соответственно.

Математическим ожиданием M(X) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех возможных значений величины X на соответствующие вероятности:

В случае, когда предполагается, что полученный числовой ряд абсолютно сходится.

Основные свойства математического ожидания

1. где

2. где

3.

4. (для независимых случайных ве­личин).

5.

Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения случайной величины. Характеристиками рассеивания возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией D(X) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее математического ожидания:

Дисперсию удобно вычислять по формуле

Основные свойства дисперсии

Пусть – независимые случайные величины.

1. где

2. где

3.

4.

Средним квадратическим отклонением  случайной величины X называется корень квадратный из дисперсии:

Для более подробного описания свойств случайной величины X рассмотрим и некоторые другие ее характеристики.

Модой M₀ дискретной случайной величины X называется ее наиболее вероятное значение.

Медианой случайной величины X называется такое ее значение M_e, для которого

Начальным моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание случайной величины где – натуральное число:

Математическое ожидание и дисперсию случайной величи­ны X можно выразить через начальные моменты порядка 1 и 2:

Центральным моментом порядка случайной величины X называется математическое ожидание величины

Пример 1. По мишени стреляют один раз с вероятностью попадания 0,6. Случайная величина X – число попаданий. Найти закон распределения этой случайной величины.

Решение. Очевидно, X может принимать только два значения: 1 и 0, причем их вероятности равны соответственно 0,6 и 0,4. Действительно, при выстреле возможны два исхода: попадание (тогда X = 1) и промах (тогда X = 0); вероятности этих событий суть 0,6 и 1 – 0,6 = 0,4. В итоге получим следующую таблицу:

X	1	0
P	0,6	0,4

Пример 2. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	1	2	4	6
P	0,2	0,1	0,5	0,2

Построить многоугольник распределения.

Решение. Построим прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения x_i, а по оси ординат – соответствующие вероятности Построим точки M₁(1; 0,2), M₂(2; 0,1), M₃(4; 0,5), M₄(6; 0,2). Соединив эти точки отрезками прямых, получим искомый многоугольник распределения (рис. 31.4).

Рис. 31.4

Пример 3. Найти функцию распределения дискретной случайной величины Х из примера 2. Используя функцию распределения, вычислить вероятности событий: X < 2;

Решение. Используя данные из таблицы, получим функцию распределения:

График функции F(x) представлен на рис. 31.5.

Рис. 31.5

Пример 4. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1000 денежных единиц, 10 выигрышей по 100 денежных единиц и 100 выигрышей по 1 денежной единице при общем числе билетов 10 000. Найти закон распределения случайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета и математическое ожидание выигрыша X.

Решение. Возможные значения для X: Вероятности их будут: Следовательно, закон распределения выигрыша X может быть задан таблицей:

X	0	1	100	1000
P	0,9889	0,01	0,001	0,0001

Найдем математическое ожидание выигрыша X. Используя полученную таблицу, имеем:

Пример 5. Случайная величина X задана законом распределения:

X	1	3	6	7	9
P	0,2	0,2	0,3	0,1	0,2

Найти D(X).

Решение. Имеем:

Таким образом, закон распределения случайной величины выразится таблицей:

(X – M(X))2	16,81	4,41	0,81	3,61	15,21
P	0,2	0,2	0,3	0,1	0,2

Отсюда получаем

Задания