31. Теория вероятностей

31.1. Основные понятия теории вероятностей.

Элементы комбинаторики

Всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых наблюдается соответствующее явление, называют опытом или испытанием (например, опытом являются стрельба по мишени, бросание монеты, бросание игральной кости, т. е. кубика с нанесенным на каждую грань числом очков – от одного до шести).

Возможный результат, исход опыта называется событием. Например, при стрельбе по мишени событием будет попадание или промах, при бросании монеты – герб или цифра на ее стороне и т. д.

Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита: A, B, C, D и т. д.

Событие называется достоверным в данном опыте, если оно обязательно произойдет в этом опыте. Достоверное событие обозначают .

Событие называется невозможным, если в данном опыте оно не может произойти. Невозможное событие обозначают

Событие называется случайным по отношению к данному опыту, если при осуществлении этого опыта оно может наступить, а может и не наступить.

З а м е ч а н и е 1. Одно и то же событие в некотором опыте может быть достоверным, в другом – невозможным, в третьем – случайным.

Суммой событий A и B называется третье событие A + B, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: A или B.

Если наступление события обозначать знаком «+», а ненаступление – знаком «–», то полную характеристику будет давать следующая таблица:

A	B	A + B
+	+	+
+	–	+
–	+	+
–	–	–

Аналогично определяется сумма трех, четырех и т. д. событий. Вообще, сумма любого множества событий есть событие, которое наступает в тех и только тех случаях, когда наступает хотя бы одно из событий данного множества.

Произведением событий A и B называется третье событие AB, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: A и B.

Полную характеристику события AB дает следующая таблица:

A	B	AB
+	+	+
+	–	–
–	+	–
–	–	–

Аналогично определяется произведение любого множества событий.

Событием, противоположным событию A, называется событие которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А.

Противоположное событие можно определить следующей таблицей:

А
+	–
–	+

События A и B называются равными, если каждый раз, когда наступает одно из них, наступает и другое.

Равенство событий A и B записывают A = B.

Для наглядного истолкования соотношений между собы­тиями удобно использовать так называемые диаграммы Эйлера–Венна. Каждое событие в этом случае рассматривается как попадание случайно брошенной точки в некоторую область на плоскости, т. е. каждое событие задается некоторой фигурой на плоскости.

При таком толковании, событие A + B будет не что иное, как попадание точки в объединение фигур A и B (рис. 31.1), событие AB – попадание в область, являющуюся пересечением фигур A и B, а событие – попадание в область, дополнительную к фигуре A.

Рис. 31.1

Пусть А – случайное событие по отношению к некоторому опыту. Если произведено N опытов и при этом событие А наступило в N_A случаях, то отношение называется относительной частотой события А в данной серии опытов.

Длительные наблюдения показывают, что если в одинаковых условиях производятся опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа.

Вероятностью случайного события А называется число P(A), около которого колеблется относительная частота этого события в длинных сериях опытов.

Приведенное выше определение часто называют «статистическим определением» вероятности.

Так как частота удовлетворяет условиям то в тех же пределах заключена и вероятность любого события:

При этом, если событие А достоверное (т. е. наступает при каждом осуществлении опыта), то N_A = N и, значит,  = 1; тем самым вероятность достоверного события равна единице. В другом крайнем случае, когда событие A невозможно: N_A = 0 и, значит,  = 0. Значит, вероятность невозможного события равна нулю.

События А, В, С называются несовместными, если два из них не могут произойти в данном опыте вместе.

События А, В, С называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при этом же испытании.

Если сумма событий – достоверное событие, т. е. то говорят, что события образуют полную группу событий для данного опыта.

Если события обладают свойствами:

1)

2) при

то говорят, что они образуют полную группу попарно несовместных событий.

Если – полная группа попарно несовместных событий, связанных с некоторым испытанием, то события называют элементарными событиями.

Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Исторически первым было классическое определение вероятности.

Вероятностью события А называется отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех равновозможных элементарных событий опыта, в котором может появиться событие А.

В соответствии с классическим определением вероятности

(31.1)

где m – число элементарных событий, благоприятствующих событию A;

n – число элементарных событий, образующих полную группу равновозможных и попарно несовместных событий.

Классическое определение вероятности предполагает, что число всех элементарных событий конечно. Но на практике часто встречаются опыты, для которых множество таких событий бесконечно.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.

Пусть на плоскости задана квадрируемая область G, т. е. область, имеющая площадь. Площадь этой области обозначим через S_G. В области G содержится область g площади S_g (рис. 31.2).

Рис. 31.2

В область G наудачу брошена точка. Считают, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области G с вероятностью, пропорциональной площади этой части и не зависящей от ее формы и расположения. Если A – попадание брошенной точки в область g, то геометрическая вероятность этого события определяется формулой

Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную область объема V_G, содержащую область g объема V_g:

Часто приходится составлять из конечного числа элементов различные комбинации и производить подсчет числа всех возможных комбинаций, составленных по некоторому правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся их решением, называется комбинаторикой.

Правило суммы: если некоторый объект A можно выбрать m способами, а объект B – k способами, причем любой способ выбора объекта A отличен от любого способа выбора B, то выбор «A или B» можно сделать m + k способами.

Правило произведения: пусть объект A можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой объект B можно выбрать (независимо от объекта A) k способами, то пару объектов A и B можно выбрать mk способами.

Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое натуральное число (номер элемента) от 1 до n, где n – число элементов множества, так что различным элементам соответствуют различные числа.

Различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов (т. е. могут быть получены из того же самого множества), называются перестановками. Число возможных перестановок из n элементов вычисляют по формуле

(31.2)

(читается «n-факториал»).

Конечные упорядоченные подмножества данного множества называются размещениями данного множества.

Число упорядоченных k-элементных подмножеств множества, состоящего из n элементов, т. е. число размещений из n по k обозначают и вычисляют по формуле

(31.3)

Произвольное k-элементное подмножество n-элементного множества называется сочетанием из n элементов по k. Число сочетаний из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле

З а м е ч а н и е 2. Выше предполагалось, что все n элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае множества с повторениями вычисляются по другим формулам.

Если среди n элементов есть n₁ элементов одного вида, n₂ элементов другого вида и т. д., то число перестановок с повторениями определяется формулой

где

Число размещений по k элементов с повторениями из n элементов равно n^k, т. е.

Число сочетаний с повторениями из n элементов по k элементов равно числу сочетаний без повторений из n + k –1 элементов по k элементов, т. е.

Пример 1. С помощью таблиц, определяющих A + B, AB и доказать равенство

Решение. Составим таблицы, дающие все случаи наступления и ненаступления левой и правой частей доказываемого равенства:

A	B						A	B	AB
+	+	–	–	–	+		+	+	+
+	–	–	+	+	–		+	–	–
–	+	+	–	+	–		–	+	–
–	–	+	+	+	–		–	–	–

Последние столбцы этих таблиц одинаковы, это и означает справедливость равенства

Пример 2. Английский математик Карл Пирсон (1857–1936) бросал монету 24 000 раз, причем герб выпал 12 012 раз. Найти относительную частоту выпадения герба в данной серии опытов.

Решение. Относительная частота выпадения герба в данной серии опытов равна:

Пример 3. Найти вероятность появления верхней грани с числом очков, делящимся на 3, при бросании игральной кости.

Решение. Благоприятствующими данному событию A будут элементарные события A₃ и A₆ (выпадение 3 и 6), а всего элементарных исходов будет шесть. Поэтому

Пример 4. В круг радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри правильного треугольника, вписанного в данный круг (рис. 31.3).

Рис. 31.3

Решение. Искомая вероятность равна отношению площади треугольника к площади круга:

Пример 5. Определить, сколько двузначных чисел можно записать в десятичной системе счисления.

Решение. Число десятков двузначного числа может принимать одно из девяти значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число единиц может принимать одно из десяти значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Всего получим двузначных чисел.

Пример 6. Определить, сколькими различными способами могут разместиться на скамейке 6 человек.

Решение. Согласно формуле (31.2) при n = 6, находим

Пример 7. Определить, сколькими способами можно выбрать четырех человек на четыре различные должности из девяти кандидатов на эти должности.

Решение. Воспользуемся формулой (31.3). При n = 9, k = 4 получаем

Пример 8. В девятом классе 35 учащихся. Из них нужно выбрать четыре делегата на конференцию. Определить, сколько имеется возможностей такого выбора.

Решение.

Пример 9. Определить, сколькими способами можно поставить на книжной полке три экземпляра учебника по алгебре, два экземпляра учебника по физике и один экземпляр учебника по белорусскому языку.

Решение.

Пример 10. Сколько разных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 2, если одна и та же цифра может повторяться несколько раз?

Решение. Из цифр 0, 2 можем получить пятизначных чисел. Но числа, записанные пятью цифрами, первая из которых нуль, не являются пятизначными.

Их столько, сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2 при повторении цифр, т. е. Поэтому ответ:

Пример 11. На пяти одинаковых по форме и размеру карточках написаны буквы слова Минск – по одной на каждой карточке. Карточки тщательно перемешаны. Их вынимают наудачу и раскладывают одна за другой на столе. Определить, какова вероятность того, что снова получится слово Минск.

Решение. Из пяти различных элементов можно составить P₅ перестановок: Значит, всего равновозможных элемен­тарных событий будет 120, а благоприятствующих данному событию – только одно. Следовательно,

Пример 12. В играх на первенство страны по баскетболу участвуют 16 команд, которые будут распределены по жребию на две группы по 8 команд. Какова вероятность того, что две команды-победи­тельницы в промежуточных состязаниях войдут в одну группу?

Решение. Число всех способов распределения 16 команд на две группы по 8 команд равно Пусть обе команды-победительницы вошли в одну группу. К ним следует присоединить еще 6 любых команд из оставшихся 14. Это можно сделать способами.

Отобранные 8 команд можно объявить группой 1, оставшиеся – группой 2, и наоборот. Следовательно, требованию задачи удовлетворяют комбинаций. Искомая вероятность равна:

Задания