Общие сведения Физические основы эксперимента

Момент инерции тела – это физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении. Для точечного тела массой , вращающегося по окружности радиусом , момент инерции определяется формулой:

. (1)

В соответствие с этим для тела с бесконечно малой массой :

(2)

Момент инерции любого тела можно рассчитать, используя выражение (2). Для этого тело «разбивают» на микрообъемы с массами . Считая каждый из таких микрообъемов точечным телом, находят момент инерции каждого из них по формуле (2) и все суммируют:

(3)

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести, определятся:

а) для стержня

. (4)

б) для диска

. (5)

в) для кольца

, (6)

где - масса диска;

- радиус диска;

- масса кольца;

- внутренний радиус кольца;

- внешний радиус кольца;

- масса стержня;

– длина стержня.

Момент инерции тела относительно произвольной оси определяется суммой момента инерции тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями, согласно теореме Штейнера:

. (7)

Экспериментально момент инерции тела можно определить с помощью крутильного маятника (рисунке 1). Если верхнюю платформу повернуть на малый угол, то нижняя платформа будет совершать крутильные колебания вокруг оси ОО΄.

Пренебрегая силами трения в системе, можно считать постоянной полную механическую энергию. В точке максимального закручивания платформа поднимается на высоту , при этом полная энергия равна потенциальной энергии

,

где -масса платформы.

При прохождении положения равновесия платформа движется с максимальной угловой скоростью , при этом полная энергия равна кинетической

,

где – момент инерции платформы..

По закону сохранения энергии: .

Из этого уравнения получим:

(8)

Так как малые колебания можно считать гармоническими, то колебания нижней платформы проходят по закону:

,

где – максимальный угол поворота;

- период колебаний.

Угловая скорость: .

То есть

. (9)

Из геометрических соображений [1]:

. (10)

Тогда из (8), (9) и (10):

, (11)

где . (12)

Используя формулу (11) можно рассчитать момент инерции, как ненагруженной платформы , так и нагруженной платформы _. Пользуясь свойством аддитивности момента инерции, момент инерции тела на платформе рассчитывается как:

. (13)