Вопросы и задачи по материалам учебного модуля

1. Почему при построении графика нормального распределения его необходимо преобразовать в стандартизованное нормальное распределение?

2. Перечислите свойства нормального распределения.

3. Как с помощью графика нормального распределения распознать нормально рас­пределенные данные?

4. При каких условиях можно применять экспоненциальное распределение?

5. Почему выборочное среднее является несмещенной оценкой математического ожидания генеральной совокупности?

6. Почему стандартная ошибка среднего уменьшается при увеличении объема вы­борок?

7. Почему распределение выборочных средних при достаточно больших объемах выборки является нормальным независимо от распределения генеральной сово­купности?

8. Объясните, почему менеджер по качеству должен стремиться оценить параметры генераль­ной совокупности, а не описывать свойства конкретной выборки.

9. В чем заключается разница между распределением вероятностей и выборочным распределением?

10. При каких условиях распределение выборочной доли признака подчиняется нормальному закону?

11. В промышленных швейных машинах используются шарикоподшипники, имеющие диаметр 0,75 дюйма. Спецификация допускает колебания диаметра в пределах от 0,74 до 0,76 дюйма. Опыт показывает, что диаметр шарикопод­шипника является случайной величиной, имеющей нормальное распределение, математическое ожидание которого равно 0,753 дюйма, а среднее квадратическое отклонение — 0,004 дюйма.

1. Какова вероятность того, что диаметр шарикоподшипника находится между номинальным значением и математическим ожиданием?

2. Какова вероятность того, что диаметр шарикоподшипника находится между нижней допустимой границей и математическим ожиданием?

3. Какова вероятность того, что диаметр шарикоподшипника превышает верх­нее допустимое значение?

4. Какова вероятность того, что диаметр шарикоподшипника меньше нижнего допустимого значения?

5. Выше какого значения находятся диаметры 93% всех шарикоподшипников?

Предположим, что из генеральной совокупности извлекается выборка, состоящая из 25 шарикоподшипников. Вычислите вероятности следующих событий.

6. Выборочное среднее лежит между номинальным значением и математиче­ским ожиданием генеральной совокупности, равным 0,753 дюйма.

7. Выборочное среднее лежит между нижним допустимым значением и номи­нальным.

8. Выборочное среднее превышает верхнее допустимое значение.

9. Выборочное среднее меньше нижнего допустимого значения. 10.Выше какого значения лежат 93% выборочных средних?

12. Объем жидкости в бутылках, содержащих безалкогольный напиток, является нор­мально распределенной случайной величиной. Математическое ожидание этого рас­пределения равно 2,0 л, а среднее квадратическое отклонение — 0,05 л. Бутылки, содержащие меньше 95% номинального объема (1,90 л), могут стать предметом судебных разби­рательств, а бутылки, содержащие более 2,10 л, опасны при открывании.

1. Какова доля бутылок, содержащих от 1,90 до 2,0 л?

2. Какова доля бутылок, содержащих от 1,90 до 2,10 л?

3. Какова доля бутылок, содержащих до 1,90 л?

4. Какова доля бутылок, содержащих меньше 1,90 или больше 2,10 л?

5. Какова доля бутылок, содержащих больше 2,10 л?

6. Какова доля бутылок, содержащих от 2,05 до 2,10 л?

1. В 99% бутылок содержится не меньше определенного объема жидкости. Чему равен этот объем?

2. Между какими двумя величинами (симметрично расположенными относительно математического ожидания) находятся объемы 99% бутылок?

7. Объясните разницу между ответами на вопросы 7 и 8.

10. Допустим, что производители напитков настроили разливочную машину так, что средний объем стал равным 2,02 л. Как изменятся ответы на вопросы 1-9?

Предположим, что из генеральной совокупности извлекается выборка, состоящая из 25 бутылок. Вычислите вероятности следующих событий.

11. Выборочное среднее больше 1,99 и меньше 2,0 л.

12. Выборочное среднее больше 1,99 и меньше 2,01 л.

13. Выборочное среднее меньше 1,98 л.

14. Выборочное среднее меньше 1,98 или меньше 2,02 л.

15. Выборочное среднее больше 2,01 л.

16. Выборочное среднее больше 2,01 и меньше 2,03 л.

17. Выше какого значения лежат 99% выборочных средних?

17. Между какими двумя величинами (симметрично расположенными относи­тельно математического ожидания) находятся объемы 99% бутылок?

13. По данным опроса студентов 4-го курса вуза было установлено, что их подготовка к экзаменам в зимнюю сессию в среднем составляет 12,4 часа на один экзамен. Предположим, что продолжительность подготовки к экзамену имеет нормальное распределение, среднее квадратическое отклонение которого равно 2,2 часа. Вычислите вероятность следующих событий.

1. Продолжительность подготовки к экзамену окажется меньше 10 часов?

1. Какова вероятность, что продолжительность подготовки к экзамену окажется больше 5 и меньше 15 часов?

2. Какова вероятность, что продолжительность подготовки к экзамену окажется больше 12часов?

3. Определите значение, которое не превышает продолжительность 99% времени подготовки к экзамену.

2. Между какими двумя величинами (симметрично расположенными относительно математического ожидания) находится продолжительность 93% времени подготовки к экзамену?

14. Самостоятельная работа. Составьте таблицу количества автомобилей, ожи­дающих своей очереди на мойке.

Для этого воспользуемся таблицей чисел.

• Выберите в таблице случайных чисел строку, например, соответствую­щую порядковому номеру месяца, в котором вы родились.

• Выберите двузначное случайное число.

• Если выбранное число больше 0 и меньше 24, длина очереди равна 0; если выбранное число больше 25 и меньше 64, длина очереди равна 1; если вы­бранное число больше 65 и меньше 84, длина очереди равна 2; если выбран­ное число больше 85 и меньше 94, длина очереди равна 3; если выбранное число больше 95 и меньше 98, длина очереди равна 4, если выбранное число равно 99, длина очереди равна 5.

Извлеките из генеральной совокупности очередей выборки, имеющие объемы n = 2, п = 5 и п = 10. Для каждой из них вычислите выборочное среднее. Напри­мер, если выборка содержит числа 18 и 46, ей соответствуют длины очереди 0 и 1, следовательно, средняя длина очереди равна 0,5. Пусть каждый студент создаст по пять выборок указанных объемов и построит распределение выбороч­ных средних. Как распределены эти величины?

15. Самостоятельная работа. С помощью таблицы случайных чисел можно моделировать выбор из урны разноцветных шаров.

• Выберите в таблице случайных чисел строку, например, соответствующую порядковому номеру месяца, в котором вы родились.

• Выберите однозначное случайное число.

• Если выбранное число больше 0 и меньше 7, будем считать, что из урны из­влечен белый шар; если выбранное число равно 7, 8 или 9, будем считать, что из урны извлечен черный шар.

Извлеките из генеральной совокупности выборки, имеющие объемы n = 10, п = 25 и п = 30. Для каждой из них вычислите количество белых шаров. Пусть каждый студент создаст по пять выборок указанных объемов и построит выбо­рочное распределение процентных долей белых шаров. Как распределены эти величины?

Таблица 1

Строки	Столбцы
	00000 12345	00001 67890	11111 12345	11112 67890	22222 12345	22223 67890	33333 12345	33334 67890
01	49280	88924	35779	00283	81163	07275	89863	02348
02	61870	41657	07468	08612	98083	97349	20775	45091
03	43898	65923	25078	86129	78496	97653	91550	08078
04	62993	93912	30454	84598	56095	20664	12872	64647
05	33850	58555	51438	85507	71865	79488	76783	31708
06	97340	03364	88472	04334	63919	36394	11095	92470
07	70543	29776	10087	10072	55980	64688	68239	20461
08	89382	93809	00796	95945	34101	81277	66090	88872
09	37818	72142	67140	50785	22380	16703	53362	44940
10	60430	22834	14130	96593	23298	56203	92671	15925
11	82975	66158	84731	19436	55790	69229	28661	13675
12	39087	71938	40355	54324	08401	26299	49420	59208
13	55700	24586	93247	32596	11865	63397	44251	43189
14	14756	23997	78643	75912	83832	32768	18928	57070
15	32166	53251	70654	92827	63491	04233	33825	69662
16	23236	73751	31888	81718	06546	83246	47651	04877
17	45794	26926	15130	82455	78305	55058	52551	47182
18	09893	20505	14225	68514	46427	56788	96297	78822
19	54382	74598	91499	14523	68479	27686	46162	83554
20	94750	89923	37089	20048	80336	94598	26940	36858
21	70297	34135	53140	33340	42050	82341	44104	82949
22	85157	47954	32979	26575	57600	40881	12250	73742
23	11100	02340	12860	74697	96644	89439	28707	25815
24	36871	50775	30592	57143	17381	68856	25853	35041
25	23913	48357	63308	16090	51690	54607	72407	55538

Таблица случайных чисел

Таблица 2