4. Выборочные распределения

Задача 20. Рассмотрим выборку, имеющую объем п =25, извлеченную из нормально рас­пределенной генеральной совокупности, математическое ожидание которой равно 100, а среднее квадратическое отклонение — 10.

1. Вычислите вероятность того, что < 95 .

2. Вычислите вероятность того, что 95 < < 97,5 .

3. Вычислите вероятность того, что > 102,2 .

4. Вычислите вероятность того, что 99 < < 101 .

5. Какому значению X соответствует вероятность Р( > X), равная 65% ?

6. Как изменятся ответы на вопросы 1-5, если объем выборки n = 16?

Задача 21. Рассмотрим выборку, имеющую объем п = 100, извлеченную из нормально рас­пределенной генеральной совокупности, математическое ожидание которой равно 50, а среднее квадратическое отклонение — 5.

1. Вычислите вероятность того, что < 49,5.

2. Вычислите вероятность того, что 47 < < 49,5.

3. Вычислите вероятность того, что > 51,1 .

4. Вычислите вероятность того, что 49 < < 51 .

Задача 22. Диаметры шариков для настольного тенниса, произведенных на большой фабри­ке, имеют приближенно нормальное распределение. Математическое ожидание этого распределения равно 5,5 см, а среднее квадратическое отклонение — 0,05 см.

1. Какова вероятность того, что диаметр случайно выбранного шарика меньше 5,45 см?

2. Какова вероятность того, что диаметр случайно выбранного шарика лежит в интервале от 5,4 до 5,55 см?

3. Между какими двумя значениями (симметрично расположенными относительно математического ожидания) лежат 60% диаметров шариков?

4. Чему равны математическое ожидание генеральной совокупности и стандартная ошибка среднего, вычисленные по большому количеству выборок, состоящих из 25 шариков?

5. Как распределены выборочные средние, вычисленные по большому количе­ству выборок, состоящих из 25 шариков? Нормально

6. Какая доля выборочных средних, вычисленных по большому количеству вы­борок, состоящих из 25 шариков, меньше 5,48 см?

7. Какая доля выборочных средних, вычисленных по большому количеству вы­борок, состоящих из 25 шариков, дожит в интервале от 5,49 до 5,52 см?

8. Между какими двумя значениями (симметрично расположенными относи­тельно математического ожидания) лежат 60% выборочных средних?

9. Что более вероятно — диаметр отдельного шарика превысит 5,4 см, вы­борочное среднее, подсчитанное по выборке, состоящей из 4 шариков, ока­жется больше 5,55, или выборочное среднее, подсчитанное по выборке, состоящей из 25 шариков, окажется больше 5,51? Обоснуйте свой ответ.

Задача 23. Время, которое пользователи проводят, пользуясь электронной почтой, распре­делено по нормальному закону, Его математическое ожидание равно 8 мин., а среднее квадратическое отклонение — 2 мин.

1. Какая доля выборочных средних, вычисленных по большому количеству вы­борок, состоящих из 25 сеансов работы с электронной почтой, лежит в интер­вале от 7,8 до 8,2 мин?

2. Какая доля выборочных средних, вычисленных по большому количеству выборок, состоящих из 25 сеансов работы с электронной почтой, лежит в интер­вале от 7,5 до 8 мин?

3. Какая доля выборочных средних, вычисленных по большому количеству выборок, состоящих из 100 сеансов работы с электронной почтой, лежит в ин­тервале от 7,8 до 8,2 мин?

4. Какое событие более вероятно:

продолжительность определенного сеанса ра­боты с электронной почтой превышает 11 мин.;

выборочное среднее, вычис­ленное по большому количеству выборок, состоящему из 25 сеансов, превысит 9 мин.;

выборочное среднее, вычисленное по большому количеству выбо­рок, состоящему из 100 сеансов, превысит 8,6 мин.?

Задача 24. Время, которое служащий затрачивает на обслуживание одного клиента, распределено по нормальному закону. Его математическое ожидание равно 5,5 мин., а среднее квадратическое отклонение — 0,5 мин. Предположим, из генеральной совокупности извлечена выборка, состоящая из 16 клиентов.

1. Какова вероятность, что среднее время, которое затрачивается на обслужи­вание клиента, не меньше 5 мин.?

2. Допустим, вероятность того, что выборочное среднее, подсчитанное по вы­борке, состоящей из 16 клиентов, не превосходит некую продолжительность обслуживания, равна 85% . Вычислите эту величину.

3. Допустим, вероятность того, что выборочное среднее, подсчитанное по вы­борке, состоящей из 64 клиентов, не превосходит некую продолжительность обслуживания, равна 85% . Вычислите эту величину.