Нормальное распределение задачи и упражнения

2012

Задачи к разделу I

Задача 1. Рассмотрим стандартизованное нормальное распределение (математическое ожидание равно 0, а среднее квадратическое отклонение равно 1 (см. табл.).

1. Чему равна вероятность P(Z < 1,57)?

2. Чему равна вероятность P(Z > 1,84)?

3. Чему равна вероятность Р(1,57 <Z< 1,84)?

4. Чему равна вероятность P(Z < 1,57 или Z > 1,84)?

5. Чему равна вероятность Р(-1,57 < Z < 1,84)?

6. Чему равна вероятность P(Z < -1,57 или Z >1,84)?

1. Между какими значениями переменной Z (симметрично распределенной от­носительно математического ожидания) лежат 68,26% всех ее возможных значений?

Задача 2. Рассмотрим стандартизованное нормальное распределение. Вычислите следующие вероятности.

1. P(Z > +1,34).

2. P(Z <+l,17).

3. P(0<Z<+1,17).

4. Р(Z<-1,17).

5. P(-1,17<Z<+1,34).

6. P(-l,17<Z<-0,50).

Задача 3. Транспортная компания определила, что за год каждый из ее грузовиков проходит расстояние, равное 50,0 тыс. км, а среднее квадратическое отклонение равно 12,0 тыс. км. Предположив, что годовой пробег грузовиков распределен по нормальному закону, определите:

1. Какая доля грузовиков проходит за год от 34,0 до 50,0 тыс. км?

2. Какова вероятность того, что наугад выбранный грузовик прошел за год от 34,0 до 38,0 тыс. км?

3. Какая доля грузовиков проходит за год меньше 30,0 или больше 60,0 тыс. км?

4. Сколько из 1000 грузовиков, принадлежащих парку компании, проходят за год от 30,0 до 60,0 тыс. км?

5. Как изменятся ответы на вопросы 1-5, если среднее квадратическое отклонение равно 10,0 тыс. км?

Задача 4. Предельная нагрузка, которую выдерживают пластиковые пакеты, является нормально распределенной случайной величиной. Ее математическое ожидание равно 15 кг, а среднее квадратическое отклонение — 2,5 кг.

1. Какая доля пакетов выдерживает максимальную нагрузку не больше 17 кг?

2. Какая доля пакетов выдерживает максимальную нагрузку не меньше 14 кг?

3. Какая доля пакетов выдерживает максимальную нагрузку от 14,5 до 15,5 кг?

4. Какая доля пакетов выдерживает максимальную нагрузку от 13,2 до 14,2 кг?

5. Между какими двумя величинами (симметрично расположенными относи­тельно математического ожидания) распределены 95% всех возможных зна­чений максимальной нагрузки?

6. Как изменятся ответы на вопросы 1-5, если среднее квадратическое отклонение равно 1,0 кг?

Задача 5. Оценки, полученные студентами на экзамене по статистике, являются нормаль­но распределенными случайными величинами. Математическое ожидание этого распределения равно 73, а среднее квадратическое отклонение — 8.

1. Какова вероятность получить на экзамене меньше 91 баллов?

2. Какова доля студентов, получивших на экзамене от 65 до 89 баллов?

3. Какова доля студентов, получивших на экзамене от 81 до 89 баллов?

4. Укажите сумму баллов, которую превысили только 5% студентов.

Задача 6. Статистический анализ 1 000 междугородных телефонных разговоров в офисе кор­порации «Ямис» показал, что их продолжительность является нормально распределенной случайной величиной. Математическое ожида­ние этого распределения равно 260 с, а среднее квадратическое отклонение — 50 с

1. Какова доля разговоров, длящихся менее 130 с?

1. Какова вероятность того, что продолжительность наугад выбранного разго­вора окажется больше 130 и меньше 290 с?

2. Сколько разговоров длятся меньше 130 или больше 290 с?

3. Сколько разговоров длятся больше 110 и меньше 180 с?

Задача 7. На производстве многое зависит от точности подгонки деталей, например, оси должны входить в отверстия клапанов. Предположим, проектировщики преду­смотрели ось диаметром 22,000 мм, а на практике ее диаметр колеблется от 21,900 до 22,010 мм. Допустим, что диаметр оси является нормально распреде­ленной случайной величиной с математическим ожиданием, равным 22,002 мм, и стандартным отклонением, равным 0,005 мм.

1. Какова доля осей, диаметр которых больше 21,90 и меньше 22,00 мм?

2. Какова вероятность выбрать ось, удовлетворяющую техническим требованиям?

3. Как изменятся ответы па вопросы 1-3, если среднее квадратическое отклонение диамет­ра оси равно 0,004 мм?