Нормальное распределение

I. Нормальное распределение

Нормальное распределение (normal distribution), которое иногда называют гауссовым (Gaussian distribution), - одно из наиболее важнейших непрерывных распределений, используемых в управлении качеством.

Широкое применение нормального распределения обусловлено следующими причинами.

1. Нормальное распределение лежит в основе классической теории статистиче­ских выводов, базирующихся на цен­тральной предельной теореме.

2. Оно достаточно точно аппроксимирует распределения многих реальных непрерывных распределений случайных величин.

3. С помощью нормального распределения можно аппроксимировать разнообраз­ные дискретные распределения.

Математическое выражение, описывающее распределение значений непрерывной случайной величины, называется плотностью непрерывного распределения вероятно­стей (continuous probability density function).

Плотность вероятностей нормального распределения имеет вид:

(1)

где  - математическое ожидание гене­ральной совокупности;

 - среднее квадратическое отклонение;

x – одно из возможных значений случайной величины, .

Плотность этого распределения для различных значений  и  изображена на рис. 1. Она имеет вид симметричного колокола. При изменении  кривая колокола без изменения формы перемещается вдоль оси x, а изменении параметра  его форма становится шире или уже, но площадь под колокообразной кривой остается неизменной и всегда равна единице.

f(x)

x

 ₁

 ₂

Рис. 1. Плотности вероятностей нормального распределения

Нормальное распределение обладает следующими свойствами.

• Имеет колоколообразную и симметричную форму.

• Его математическое ожидание, медиана и мода совпадают друг с другом.

• Основная масса (99,7%) нормально распределенных значений лежит в диапазоне, длина которого ограничена интервалом   3.

• Значения нормально распределенной случайной величины лежат на всей числовой оси .

Выражение (1), описывающее вид огибающей распределения ординат случайной величины вдоль оси X, именуют также дифференциальным законом распределения случайной величины X. Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X, попадет в некоторый диапазон (a, b) находится из выражения:

где функция¹ F(x) действительного аргумента X, определенная как вероятность события F(x) = P(X x), называется интегральной функцией распределения случайной величины X:

F(x) = . (2)

Важнейшие свойства функции распределе­ния:

1) F (х) — неубывающая функция своего аргумента;

2) F(- ) = 0;

3) F() = 0,5;

4) F(+) = l.

x

x

F (х)

f(x)

Рис. 2. Плотность вероятностей и функция нормального распределения

Вычисление определенного интеграла (2) вызывает определенные трудности, т.к. его решение осуществляется методом численного интегрирования. С целью широкого внедрения в практику статистических исследований математических моделей, в основе которых лежит нормальное распределение случайных величин, в технической литературе по теории вероятностей и математической статистки приводятся таблицы, содержащие результаты вычислений плотности и функции распределений для нормального закона вероятностей. Поскольку количество возможных комбинаций параметров m и  бесконечно, то при непосредственном вычислении по формулам (1) и (2) понадобилось бы бесконечное число таблиц. Однако если нормировать исходные данные, то все возможные комбинации можно привести к унифицированному виду, преобразуя нормально распределенную случайную величину X в нормализованную нормально распределенную случайную величину Z.

Величина Z равна разности между величиной X и математическим ожиданием гене­ральной совокупности μ, деленной на среднее квадратическое отклонение σ (стандартное отклонение – в англоязычной литературе):

(3)

Математическое ожидание стандартизованного нормального распределения (standardi­zed normal distribution) равно нулю, а среднее квадратическое отклонение — единице.

Плотность стандартизованного нормального распределения имеет вид²:

(4)

Таким образом, любое множество нормально распределенных величин можно пре­образовать в стандартизованную форму, а затем определить искомую вероятность по таблице интегрального стандартизованного нормального распределения (см. табл.2).

Проиллюстрируем процедуру нормирования следующим примером. Предположим математическое ожидание числа ежемесячно продаваемых компьютеров равно μ =100 единиц, а среднее квадратическое отклонение — σ = 20 ед.

Как показывает рис. 3, каждому значению переменной X соответствует нормиро­ванное значение Z, полученное с помощью формулы преобразования (3). Следовательно, число проданных компьютеров, равное 120 ед., на одну стандартную единицу превышает математическое ожидание:

,

а число 40 на три стандартные единицы (стандартных отклонения) меньше математического ожидания:

Таким образом, среднее квадратическое отклонение становится единицей измерения качества, позволяющее оценивать вероятность реализации реальных процессов с любыми параметрами μ и σ.

f(x)

X

Z



Шкала X 40 60 80 100 120 140 160

 =100;=20  -3  -2  -1   +1  +2  +3

Шкала Z -3 -2 -1 0 1 2 3

 =0; =1  -3  -2  -1   +1  +2  +3

Рис. 3. Преобразование шкалы для плотности вероятностей нормального распределения к стандартизованному виду

Упражнение 1. Пусть по вышеприведенным условиям, необходимо определить вероятность того, что в один из случайно выбранных месяцев, количество проданных компьютеров будет:

а) не менее 90 единиц;

б) находится в диапазоне не менее 120 и не более 140 единиц;

в) менее 75 единиц.

Решение.

а). Вероятность того, что количество проданных компьютеров будет не менее 90 ед. означает, что их число может равняться 90 и любому другому числу большему 90 (см. рис.4).