3.1.3. Принцип відносності Галілея

В початковий момент часу t=0 дві інерціальні системи відліку(k i k') зміщено(їх центри в одному місці), а протягом певного часу система рухається від умовно-нерухомої системи зі швидкістю , причому вісі OX і співпадають, а і та і будуть попарно-паралельні між собою.

Рис. 2

Знайдемо зв’язок деякої матеріальної точки Р між системами k і . Положення матеріальної точки в просторі задається радіус-вектором.

Вважаємо, що час в обох системах протікає однаково, тобто . Знайдемо радіус-вектор r:

Координата x: .

Координати y i z: ,

. (6)

Система рівнянь (6) називається перетвореннями Галілея. Ці рівняння дають змогу отримати закон відносно однієї з інерціальних систем, якщо він відомий відносно іншої системи, шляхом зміни координат.

Якщо швидкість буде сталою( ), то перетворення Галілея будуть мати вигляд:

. (7)

Слід відмітити, що перетворення Галілея справедливі в області механіки малих швидкостей і не використовується в механіці великих швидкостей, так як в останньому випадку час протікає неоднорідно в різних системах відліку( ) і при великих швидкостях перетворення Галілея змінюються перетвореннями Лоренца.

Якщо продиференціювати за часом рівняння (6) і (7), знайдемо зв’язок між швидкостями в системі k і :

для рівняння (6).

для рівняння (7).

Якщо швидкість буде величиною сталою( ), то і . Таким чином і , тобто якщо точка Р відносно системи рухається прямолінійно і рівномірно і сама система відносно системи k рухається рівномірно і прямолінійно, то точка Р відносно системи k рухається рівномірно і прямолінійно. Таким чином, 1-ий закон Ньютона виконується для усіх інерціальних систем. Якщо , , тоді , тобто відносно неінерціальної системи відліку 1-ий закон Ньютона не виконується.

Якщо продиференціювати по часу , знайдемо зв’язок між прискореннями точки Р відносно систем відліку, що розглядаються:

. (8)

Якщо вісі X і не співпадають, але переміщуються паралельно одна одній, то рівняння (6) можна записати:

при умові, що .

Звідси рівняння для знаходження матеріальної точки:

. (9)

Системи рівнянь (9) – перетворення Галілея. Ці формули справедливі в рамках класичної механіки.

Якщо продиференціюємо систему рівнянь по часу, отримаємо:

- закон додавання швидкостей.

3.1.4. Закон збереження імпульсу

Сили, що діють:

• внутрішні сили(сили взаємодії між матеріальними точками самої системи);

• зовнішні сили(сили з яким тіла системи взаємодіють між собою).

Системи тіл, що взаємодіють між собою і не взаємодіють з зовнішніми тілами – замкнені.

Імпульс системи дорівнює векторній сумі усіх тіл, що утворюють дану систему:

. (10)

Знайдемо швидкість центра інерції системи. Центром мас називається деяка точка С, положення якої задається радіус-вектором , що визначається як сума всіх імпульсів поділена на загальну масу:

,

де m – загальна маса.

Щоб знайти швидкість центра мас, потрібно взяти похідну від центра мас:

.

Імпульс центра мас:

. (11)

Нехай система складається з 3 матеріальних точок:

Рис. 3

Для кожного з тіл запишемо 2-ий закон Ньютона:

,

але згідно 3-ого закону Ньютона, тоді для довільної системи(кількість тіл = N):

,

де - загальний імпульс системи

. (12)

Швидкість зміни імпульсу системи тіл дорівнює результуючій зовнішніх сил, що діє на цю систему. У випадку замкненої системи( ), тоді зміна імпульсу дорівнює нулеві:

. (13)

Імпульс даної системи тіл зберігається, тобто це і є законом збереження імпульсу.