6.1.3. Енергія коливального руху

На прикладі пружинного маятника можна показати, що робота пружної та квазіпружної сили за повний цикл гармонічного коливання дорівнює нулю. Тоді ці сили є консервативними, а поля цих сил – потенціальні. Це означає, що для коливальної системи виконується закон збереження енергії.

. (11)

Виразимо значення енергії коливальної системи через її параметри. Для того, щоб надати зміщення x системі від початкового положення рівноваги необхідно виконати роботу проти сил поля:

.

Дана робота іде на надання даній системі запасу потенціальної енергії, тобто потенціальна енергія:

. (12)

Враховуючи рівняння (5) і те, що , можна записати:

. (13)

Кінетична енергія – енергія руху. Враховуючи вираз для швидкості з рівняння (7), знаходимо:

. (14)

На основі рівнянь (11), (13), (14), знаходимо, що повна енергія системи в будь-який момент часу:

. (15)

З рівняння (15) видно, що повна енергія не залежить від часу, що відповідає закону збереження енергії замкненої системи.

Для коливальної системи потенціальну і кінетичну енергію можна виразити через повну енергію:

, (16)

. (17)

З даних формул витікає, що потенціальна і кінетична енергія змінюються у протифазі, а частота їх зміни в 2рази перевищує частоту гармонічних коливань.

Рис. 4

Середнє значення дорівнює половині, і тоді середнє значення потенціальної енергії дорівнює середньому значенню кінетичної енергії і дорівнює половині повної енергії.

Приведена довжина фізичного маятника – така довжина, при якій період коливань фізичного маятника дорівнює періоду коливань математичного маятника:

.

Лекція 10

6.2. Складання коливань

6.2.1. Векторна діаграма. Складання коливань одного напрямку

Будь-яке гармонічне коливання може бути представлене за допомогою вектора , довжина якого дорівнює амплітуді. Напрям вектора утворює з віссю x кут, що дорівнює початковій фазі коливань:

.

Якщо привести вектор в коливальний рух з деякою швидкістю , то проекція вектора на вісь x буде змінюватись в межах від до – . Проекція кінця вектора на вісь x буде здійснювати гармонічні коливання з амплітудою, яка дорівнює довжині , циклічною частотою , і фазою .

Рис. 1

Такі векторні діаграми відображають собою уявлення коливань і операцій над ними у вигляді векторів і називаються векторними діаграмами.

Нехай матеріальна точка приймає участь у двох гармонічних коливаннях:

з однаковою частотою і вздовж одного напряму.

Математична точка буде здійснювати результуюче коливання, яке можна записати:

.

Знайдемо вираз для амплітуди і початкової фази, скориставшись векторною діаграмою

Рис. 2

Результуючий вектор дорівнює векторній сумі:

,

а амплітуда і початкову фазу знаходимо на основі прямокутного трикутника OBC:

Рівняння для визначення початкової фази коливань ( ):

.

Якщо проаналізувати цей вираз, то можемо побачити, що при коливання будуть здійснюватись в одній і тій самій фазі. Амплітуда буде сумуватися: . Якщо , то коливання будуть знаходитись в протифазі, амплітуда буде: . Якщо частоти коливань – неоднакові , то вектори і будуть обертатися з різною швидкістю, тоді результуючий вектор буде пульсувати по своїй величині і рухатись з несталою швидкістю, тоді результуюче коливання – не гармонічне. Якщо частоти однакового напрямку, відрізняються не досить помітно ( ), то результат коливання можна розглядати як гармонічний з пульсуючою амплітудою, коливання такого вигляду називають биттям.