4.2.2. Моменти інерції різних тіл

1. Момент інерції стержня масою m і завдовжки l відносно осі, перпендикулярної до його грані:

.

Рис. 3.а

2. Момент інерції стержня масою m і завдовжки l відносно осі, перпендикулярної до кінця стержня:

.

Рис. 3.б

3. Момент інерції порожнистого тонкостінного циліндра масою m і радіусом оболонки R відносно геометричної осі:

.

4. Момент інерції суцільного циліндра (вала, диска) масою m і радіусом R відносно геометричної осі:

.

5. Момент інерції тонкого диска відносно осі, яка співпадає з діаметром диска:

.

6. Момент інерції кулі масою m і радіусом R відносно осі, що проходить через центр кулі :

.

4.2.3. Кінетична енергія обертального руху

Рис. 4

Умовно розіб’ємо тіло на N елементарних мас. Кінетична енергія однієї такої маси . Якщо врахувати зв’язок між лінійною швидкість і кутовою швидкістю, то отримаємо:

. (1)

Кінетична енергія тіла обумовлена тільки обертанням тіла і дорівнює сумі кінетичних енергій усіх елементарних мас, тобто:

. (2)

Дане рівняння справедливе при обертанні тіла відносно довільно-вибраної осі обертання.

Знайдемо роботу, яку необхідно виконати над тілом, щоб повернути дане тіло на кут . Враховуючи співвідношення між кінетичною енергією тіла і роботою , знаходимо, що . Так як вектори кутового прискорення і приросту кутового прискорення паралельні, а момент інерції не залежить від кутової швидкості, то дану елементарну роботу можна виразити:

.

Використаємо основне рівняння динаміки обертального руху у вигляді, що: , знаходимо, що , тоді елементарна робота буде чисельно дорівнювати:

,

або якщо записати це рівняння у вигляді

,

можна побачити, що , - зміна кута.

Для повороту тіла на кут , необхідно виконати роботу:

, (3)

А – робота сили, що обертає тіло.

4.2.4. Гіроскоп. Гіроскопічний ефект. Процесія гіроскопа

Гіроскопом називається симетричне тіло, яке обертається навколо осі симетрії або своєї осі, що є однією з вільних осей.

Найпростіший гіроскоп – юла. Якщо дзиґу розкрутити і залишити, то вона зберігатиме напрямок своєї осі обертання. Дане явище можна пояснити виходячи з рівняння обертального руху

.

Оскільки під час обертання вовчка момент сили тяжіння відносно центра мас дорівнює нулю, то:

,

а це і є закон збереження моменту імпульсу:

.

Тобто момент імпульсу системи зберігає свої величину і напрям за відсутності зовнішніх моментів сил. Дану властивість використовують в технічних(навігаційних) пристроях.

Схема типового гіроскопа:

Рис. 5

Складовими частинами типового гіроскопа є важке тіло (D), вісь обертання (AA’) та карданний підвіс, який складається з двох кілець – зовнішнього, яке вільно обертається навколо осі і внутрішнього, яке обертається навколо осі, яка перпендикулярна до неї і проходить через вістря CC’. Вісь AA’ диску спирається на внутрішнє кільце карданного підвісу. Це забезпечує їй можливість вільно обертатися у просторі у будь-якому напрямі. Вісь симетрії є однією з головних осей гіроскопа. Коли обертання буде відбуватися навколо цієї осі, то момент імпульсу гіроскопа збігається за напрямом з віссю обертання і тому таке обертання стійке і вісь обертання зберігає незмінним свій напрям в разі будь-якого переміщення(зміщення) підставки чи іншого пересування даного приладу. Для зміни напряму осі гіроскопа відносно нерухомої системи координат необхідно, щоб на нього діяв момент зовнішніх сил. В такому разі спостерігається явище, що називається гіроскопічним ефектом.

Розглянемо цей ефект на прикладі гіроскопа:

Рис. 6

Надамо гіроскопу обертання у вертикальній площині. Дану вісь розташуємо горизонтально. Момент імпульсу: , направлена по осі стержня.

Момент імпульсу дуже малий і направлений вздовж осі вовчка. Підвісимо на вісь деяке тіло масою m. Оскільки момент сили і колінеарний йому вектор приросту моменту імпульсу dL розташований в горизонтальній площині, то гіроскоп буде обертатися в горизонтальній площині навколо вертикальної осі. В разі нового положення осі вовчка, вісь вовчка знову повернеться. Рух, який виникне – прецесійний рух. Вісь прецесії – це вертикальна вісь, що перпендикулярна напряму зовнішньої сили.

Прецесійний рух має властивості: він практично безінерційний. Прецесія миттєво зупиняється, коли зникає , тобто відключається дія моменту сили. Це пов’язано з тим, що момент зовнішніх сил створює кутове прискорення осі гіроскопа. Коли момент сили стає таким, що дорівнює нулю, то кутове прискорення дорівнює нулю, вектор кутової швидкості перестає змінювати свій напрям і вісь вовчка не буде повертатися.

Розглянемо рух гіроскопа в нашому випадку, коли його вісь закріплена в точці O, яка не збігається з центром мас. При цьому гіроскоп перебуває під дією сили тяжіння.

Рис. 7

Момент сили направлений перпендикулярно до осі гіроскопа. В результаті вісь гіроскопа буде обертатися навколо вертикальної осі, яка проходить через нерухому т.О, описуючи конус. Припустимо, що момент імпульсу вовчка направлений вздовж його осі(коли ). Сила тяжіння створює момент, напрям якого перпендикулярний до вертикальної площини, що проходить через вісь вовчка. Визначимо кутову швидкість прецесії:

Момент сили дорівнює добутку радіус-вектора на силу. Радіус-вектор дорівнює , тоді:

. (4)

Таким чином, кутова швидкість прецесії не залежить від кута нахилу вовчка і чим більша кутова швидкість обертання, тим менша швидкість прецесії.

Якщо розділити ліву і праву частини рівняння, отримаємо:

. (5)

В даному рівнянні величина mgr пропорційна потенціальній енергії гіроскопа в полі тяжіння, а - кінетична енергія обертального руху гіроскопа. Умова означає, що потенціальна енергія в полі тяжіння дуже мала порівняно з його кінетичною енергією обертання.

Гіроскопи використовуються в приладах, що зазначають напрям або автоматично ліквідують відхилення від заданого напряму.

Лекція 7