Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ТВМС БНТУ практикум.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
3.28 Mб
Скачать

1.2. Доверительный интервал

Доверительный интервал это интервал , который покрывает неизвестный параметр θ с заданной надежностью γ.

Построение доверительных интервалов для числовых характеристик нормальной генеральной совокупности. Пусть генеральная совокупность имеет нормальное распределение.

Доверительный интервал для генеральной средней а имеет вид:

(6.5)

где – выборочная средняя;

S – стандартное отклонение, полученное по выборке;

n – объем выборки;

– значение распределения Стьюдента с (n – 1) степенями свободы для двусторонней критической области с α = 1 – γ,

где γ – доверительная вероятность.

Значение – называется предельной ошибкой выборки.

Доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности имеет вид:

(6.6)

где n – объем выборки;

S2 – исправленная выборочная дисперсия;

U1 и U2 – значения из таблицы 2 с (n – 1) степенями свободы при условии, что

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения генеральной совокупности имеет вид:

(6.7)

где S – стандартное отклонение;

n – объем выборки, значения U1 и U2 находятся по таблице 2 с (n – 1) степенями свободы из условия, что

1.3. Определение объема выборки

Иногда нужно проводить исследования с заданной точностью . В этом случае необходимо рассчитать объем выборки по формуле:

(6.8)

где – значение распределения Стьюдента с (n – 1) степенями свободы для двусторонней критической области с α = 1 – γ,

где γ – доверительная вероятность;

S2 – исправленная выборочная дисперсия;

 – точность оценки.

Пример 1. Вычислить по выборке F3 несмещенные оценки генеральной средней а, дисперсии 2 и среднего квадратического отклонения : S2, S.

Исходные данные:

F3: 114, 105, 103, 122, 118, 113, 107

Решение

1. Вычислим по данным вариационного ряда F3 выборочную среднюю которая является несмещенной оценкой генеральной средней по формуле:

2. Вычислим по данным вариационного ряда F3 исправленную дисперсию S2, которая является несмещенной оценкой генеральной дисперсии по формуле:

где n – объем выборки;

DBвыборочная дисперсия.

откуда

3. Вычислим по данным вариационного ряда F3 стандартное отклонение S, которое является несмещенной оценкой генерального среднего квадратического отклонения по формуле:

Имеем

Пример 2. Построить доверительные интервалы для средней а, дисперсии 2 и среднего квадратического отклонения генеральной совокупности при доверительной вероятности γ = 0,8 по данным выборки F3.

Решение

1. Построим доверительный интервал для средней генеральной совокупности, пользуясь формулой:

где – выборочная средняя;

S – стандартное отклонение, полученное по выборке;

n – объем выборки;

– значение распределения Стьюдента с (n – 1) степенями свободы для двусторонней критической области с α = 1 – γ,

где γ – доверительная вероятность.

В нашем случае доверительная вероятность γ = 0,8, α = 1 – 0,8 = 0,2, n = 7, S = 7,01.

Из таблицы распределения Стьюдента (приложение 3) для двусторонней критической области найдем Далее находим предельную ошибку выборки:

и строим доверительный интервал:

(111,7 – 3,8; 111,7 + 3,8).

(107,9; 115,5).

2. Доверительный интервал для дисперсии 2 генеральной совокупности строим по формуле:

где n – объем выборки;

S2 – исправленная выборочная дисперсия;

U1 и U2 – значения из таблицы 2 с (n – 1) степенями свободы (приложение 4) при условии, что

Имеем n = 7, S2 = 49,2, число степеней свободы равно n – 1 = = 7 – 1 = 6.

тогда

тогда

Строим доверительный интервал:

(27,73; 133,94).

3. Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения генеральной совокупности получаем, извлекая квадратные корни из концов доверительного интервала для дисперсии.

Если доверительный интервал для дисперсии имеет вид: (27,73 < 2 < 133,94), то доверительный интервал для среднего квадратического отклонения будет:

(5,27; 11,57).

Пример 3. Считая выборку F3 пробной, определить минимальный объем выборки n для нахождения доверительного интервала для среднего значения а генеральной совокупности с точностью = 2 и доверительной вероятностью = 0,9.

Решение. Рассчитываем объем выборки по формуле:

По условию задачи имеем S2 = 49,2, 2 = 4, значение находим из таблицы распределения Стьюдента (приложение 3) с n – 1 = 7 – 1 = 6 степенями свободы для двусторонней критической области с α = = 1 – γ = 1 – 0,9 = 0,1, получим Откуда

Пример 4. С помощью табличного процессора Excel найти по выборке Х несмещенные оценки генеральной средней а, дисперсии 2 и среднего квадратического отклонения и доверительный интервал для среднего значения генеральной совокупности с надежностью = 0,8.

Решение. Пусть имеем выборку Х:

29, 30, 30, 32, 30, 30, 29, 31, 30, 29, 29, 29, 30, 29, 28, 29, 29, 27, 27, 28, 32, 29, 31, 33.

Для вычисления точечных оценок , S2, S и построения доверительного интервала для генеральной средней в программе Excel надо использовать инструмент Пакета анализа средство Описательная статистика (рис. 6.1).

Рис. 6.1

Вводим в лист таблицы Excel исходные данные, ставим флажок в поле Итоговая статистика и указываем в поле Уровень надежности заданную надежность = 0,8 (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Получаем результаты расчета, которые изображены на рис. 6.3.

Проанализируем полученные результаты. На рис. 6.3. видно, что выборочная средняя (среднее) исправленная дисперсия (дисперсия выборки) S2 = 2,166666667; стандартное отклонение S =1,471960144; размах выборки (интервал) равен 6, объем выборки (счет) равен 24. В строке Уровень надежности находится предельная ошибка выборки = 0,396448633, с помощью которой формируется доверительный интервал Потому доверительный интервал имеет вид (29,58333333 – 0,396448633; 29,58333333 + 0,396448633). Округляя значения, получим доверительный интервал (29,187; 29,979) для среднего значения генеральной совокупности с надежностью = 0,8.

Рис. 6.3

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]