Оценка параметров

При проведении практических исследований работу проводят по выборочным данным. Выборка, какой бы большой она не была, не может отождествляться с генеральной совокупностью. Кроме того, для выборочных значений не рассчитывается математическое ожидание. В выборочных исследованиях математическое ожидание совпадает со среднеарифметическим значением, однако среднеарифметическое и другие характеристики зависят от самой выборки.

Если взять другую характеристику – стандартное отклонение – то она тоже связанна с самой выборкой.

Существовали попытки оценить стандартное отклонение с помощью погрешности σ / √ n. Чем больше количество наблюдений n , тем меньше погрешность, поэтому предполагалось увеличивать выборку до бесконечности. Однако точность не увеличилась, так как стали появляться погрешности усреднения внутри самих задач и возникала проблема оценивания самих параметров.

Оценивание параметров ведется по двум направлениям:

1. нахождение точечных оценок параметров распределения;

2. нахождение интервалов оценивания параметров распределения.

Точечные оценки находятся следующим образом:

– точечная оценка среднеарифметического Z есть среднеарифметическое Ż.

– точечная оценка для дисперсии или несмещенная оценка дисперсии:

σ² = ∑ (Ż – z_i )² / (N – 1),

где N – число наблюдений;

– оценка стандартного отклонения: σ = √ σ²

В интервальных оценках определяется:

– интервальная оценка для среднеарифметического: Ż ± t_α σ / √ N, где t_α – критерий Стьюдента (t_α = 1,7 при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы n = N – 1 = 30 – 1 = 29);

– интервальная оценка для дисперсии

σ²(N – 1) / χ²_{N – 1}; _{α/ 2} ≤ σ² ≤ χ²_{N – 1; 1 – α/ 2},

где χ – критерий Пирсона.

Для данного случая

χ²_{N – 1; α/ 2} = χ²_{29; 0,25} = 45,7; χ²_{N – 1; 1 – α/ 2} = χ²_{29; 0,75} = 15,575.

Точечные и интервальные оценки рассмотренного случая приведены в табл. 3.5.

Расчеты позволяют сделать вывод о том, что несмещенная оценка дисперсии и оценка стандартного отклонения отличаются от полученных ранее дисперсий и стандартных отклонений.

Таблица 3.5

Показатели	Точечные оценки		Интервальные оценки
	для дисперсии	для стандартного отклонения	для среднеарифметического	для дисперсии
Количество перерабатываемой руды	1795,65	42,38	253,683 ± 13,152	[1139,470; 3343,422]
Содержание Ме в руде	0,01	0,10	0,58 ± 0,03	[0,006; 0,019]
Выход конц.	0,02	0,14	0,648 ± 0,45	[0,013; 0,039]
Содержание Ме в конц.	1,50	1,22	66,499 ± 0,380	[0,951; 2,791]
Содержание S в конц.	0,01	0,08	0,425 ± 0,025	[0,004; 0,012]
Извлечение	10,03	3,17	73,564 ± 0,983	[6,365; 18,677]
Содержание Ме в хвост.	0,001	0,02	0,143 ± 0,007	[0,0003; 0,001]
Содержание Ме в сульф.	0,04	0,21	0,600 ± 0,064	[0,027; 0,079]