Пример 4

Построить эпюры внутренних усилий для плоской рамы с шарниром, схема которой показана на рис. 8а.

Р ешение

Определим реакции опор.

Разделим раму на две части по шарниру С (рис. 8б). Заменим действие связей в опорах А и В реакциями, приложим усилия взаимодействия частей рамы в шарнире С и составим уравнения равновесия сил, действующих на левую и правую части рамы,

, ;

, ,

откуда , .

Остальные реакции определяются из уравнений равновесия сил, действующих на раму или ее часть:

, ;

из уравнения для левой части

, , .

2. Разделим раму на четыре участка и запишем выражения для внутренних усилий для участков:

− для первого участка

; ; ,

− для второго участка

; ;

.

Эпюру поперечных сил на втором участке построим по двум значениям:

, .

Она пересекает нулевую линию в точке .

В этом сечении изгибающий момент экстремален:

.

Для построения эпюры изгибающих моментов используем еще два значения:

, .

Эпюры на третьем и четвертом участках строятся с использованием выражений

; ; ;

; ; .

Задание э-5

Построить эпюры нормальных, поперечных сил и изгибающих моментов для стержня, осевая линия которого описана дугой окружности радиуса R. Расчетные схемы кривых стержней приведены в табл. 5. Принять P₁ = P, P₂ = 2P, M = PR.

Пример 5

Построить эпюры внутренних усилий для кривого стержня, схема которого представлена на рис. 9а. К стержню приложена сосредоточенная сила P = qa и момент M = qa²/2.

Решение

1. Определим реакции опор. Освободим стержневую систему от связей. Заменим их действие реакциями (рис. 9б).

Составим уравнения равновесия сил, действующих на стержень,

; ;

; ;

; ,

откуда ; ; .

В качестве проверочного используем уравнение

2. Разделим кривой стержень на два участка и, применив метод сечений для каждого из них, запишем аналитические уравнения для внутренних усилий.

На первом участке в сечение, положение которого определяется угловой координатой , условно перенесем реакции X_A и Y_A , приложенные в начале участка. Рассмотрев их действие на часть бруса, расположенную выше сечения и разложив их на составляющие по осям x и z, с учетом того, что внутренние усилия в сечении с координатой равны по величине этим составляющим, получим

Пары сил, образующие присоединенные моменты при переносе, показаны на рис. 9в поперечными черточками.

Для построения эпюры N вычислим значения

и экстремальное

Для построения эпюры Q определим значения в двух сечениях:

Эпюра M имеет экстремум в том же сечении, что и сила N :

.

Поступив аналогично со вторым участком, получим значения внутренних усилий

;

;

На втором участке внутренние усилия выражаются через простые тригонометрические функции и их эпюры могут быть построены по двум значениям:

Для проверки правильности построения эпюр можно определить внутренние усилия в сечении С и в сечениях, прилегающих к опорам A и B. Усилия на бесконечно малом расстоянии справа от сечения С равны

,

слева от сечения

.