3. Отношения, заданные на системе множеств  (м),

М={а, Ь, с}:

а) R₉ - “пересекаться с” (иметь непустое пересечение);

б) R₁₀- “являться строгим включением  ”;

в) R₁₁ - “являться нестрогим включением 

г) R ₁₂ “быть дополнением к”.

^ Примеры пар элементов с отношениями между ними и без таковых приведены в табл. 2.1.

1.Отношени, заданные на множестве точек действительной плоскости.

Решение

Отношения и R₃ равны и выполняются (не выполня­ются) для одних и тех же пар точек.

Таблица 2.1 Отношение	Примеры пар, для которых отношение
	выполняется	не выполняется
I. Отношения, заданные на множестве точек действи­тельной плоскости:
R1 - "находиться на одинаковом расстоянии от начала координат"	((3, 4), (-3, 4)), ((3, 4), (0, -5))	((3, 4), (1,6))
R2 - "находиться на разном расстоянии от начала координат"	((3, 4), (1, 6))	((3, 4), (-3, 4)), ((3, 4), (0, -5))
R3 - "находиться на одной и той же окружности с цент­ ром в начале координат"	((3, 4), (-3, 4)), ((3, 4), (0, -5))	((3, 4), (1,6))
R4 - "быть симметричным относительно оси X"	((3, 4), (3, -4)), ((-3, 4), (-3, -4))	((3, 4), (-3, 4)), ((3, 4), (-3, -4))
2. Отношения, заданные на множестве элементов струк­туры (рис. 2.3)
R5- "быть частью целого"	(b, a),(d, а),(с, а)	(d, f), (а, b), (g, b)
R6- "быть непосредственно связанным с"	(d, b), (b,d), (с,а)	(d, f), (g, b), (d, а)
R7- "быть начальником"	(b, d),(a, d),(а, с)	(d, b), (b, g)
R8- "быть непосредственным начальником	(b, d), (а, b)	(d, b), {a, d), (b, g)
3. Отношения, заданные на системе множеств (М), М= {а, b, с:
R9 - "пересекаться с" (иметь не пустое пересечение)	({а}, {а, с}), ({а, с}, {а, b}), ({а, c}, (а, b, с}),	({a}, {b}), ({a, {b, c})
R10 -" являться строгим вклю­чением ”	({а, {а, с}), ({а, c}, (а, b, с}),	({a, c, {a, b}), ({a, c, {a, c}), ({a, {b, c})
R11 -"являться нестрогим включением "	({а}, {а, с}), ({a, с}, {а, b, с}), ({a, c}, {a, c})	({a, c, {a, b}), ({а, b, с})
R12 - "быть дополнением к"	({a}, {b, с}), ({}, {a, b, с}),	({a, (a, c}), ({a, b}, {a, с}).

1. Отношение r2 выполняется для тех и только тех пар точек, для которых не выполняются предыдущие отношения r1 и r3.

Отношение R₄ выполняется для всех пар точек (х_1, y₁) и (х₂, y₂), удовлетворяющих условию х₁ = х₂, у₁ = -у₂, и не вы­полняется в противном случае.

2. Отношения, заданные на множестве эле­ментов структуры.

Рисунок 2.3 отражает связи между элементами, задающие отношения.

Структура, задающая отношение R₅, свидетельствует о том, что целое а состоит из двух частей: b и c, которые в свою оче­редь разделены на части d, e, f и g, h соответственно.

Отношение R₆ выполняется лишь для пар элементов, не­посредственно связанных между собой линией.

Структура, задающая отношения R₇ и R₈, определяет на­чальника а, которому непосредственно подчинены b и с; в свою очередь, каждый из них имеет своих непосредствен­ных подчиненных: d, e,f и g, h соответственно.

3. Отношения, заданные на системе мно­жеств  (М), М= {а, b, с}.

Отношение R₉ выполняется для тех и только тех пар множеств из  (М), которые содержат хотя бы один общий элемент из М.

Отношение R₁₀ выполняется лишь для пар множеств, вто­рое из которых содержит все элементы первого и по край­ней мере еще один, не содержащийся в первом.

Отношение R₁₁ выполняется для тех пар подмножеств, для которых выполняется отношение R₁₀ , а также для пар одина­ковых подмножеств.

Отношение R₁₂ выполняется для пар непересекающихся множеств, содержащих элементы, вместе составляющие (без повторов) множество М.

Пример 4.

Составить матрицы отношений,

заданных на системе множеств  (М), М= {а, b, с}:

1) R - “пересекаться с” (иметь непустое, пересечение);

2) R_{1, 2} - “являться строгим включением ’’.

Решение

 (М) = {, {а}, {b}, {с}, {а, b}, {а, с}, {b, с}, {а, b, с}}.

Матрицы отношений R₁ и R₂, представлены на рис. 2.4.а и б

Рис.2.4.а R1(i,j)	j 	a	b 	 c 	a, b	a, c	b, c	a, b, c
i 	0	0	0	0	0	0	0	0
a	0	1	0	0	1	1	0	1
b 	0	0	1	0	1	0	1	1
 c 	0	0	0	1	0	1	1	1
a, b	0	1	1	0	1	1	1	1
a, c	0	1	0	1	1	1	1	1
b, c	0	0	1	1	1	1	1	1
a, b, c	0	1	1	1	1	1	1	1

Решение

 (М) = {, {а}, {b}, {с}, {а, b}, {а, с}, {b, с}, {а, b, с}}.

Матрицы отношений R₂, представлены на рис. 2.4.а

Рис.2.4.б R2(i,j)		a	b 	c	a,b	a,c	b,c	a, b, c
	0	1	1	1	1	1	1	1
a	0	0	0	0	1	1	0	1
b 	0	0	0	0	1	0	1	1
 c 	0	0	0	0	0	1	1	1
a, b	0	0	0	0	0	0	0	1
a, c	0	0	0	0	0	0	0	1
b, c	0	0	0	0	0	0	0	1
a, b, c	0	0	0	0	0	0	0	0

Пример 5.

Для отношений, определенных на множестве М= {а, b, с, d, e, f, g, h} элементов структуры (см. рис. 2.3), составить матрицы:

1) R₁ - “быть частью целого”;

2) R₂ - “быть непосредственно связанным с”.

Решение

Матрицы отноше­ний R₁ и R₂ приведены на рис. 2.5.а и б

(При построении матрицы отношения R₁ предполагалось,

что “це­лое есть часть самого себя”;

аналогично при по­строении матрицы отно­шения R₂.)

Рис.2.5.а R1(i,j) а b с d e f g h а 1 0 0 0 0 0 0 0 b 1 1 0 0 0 0 0 0 с 1 0 1 0 0 0 0 0 d 1 1 0 1 0 0 0 0 e 1 1 0 0 1 0 0 0 f 1 1 0 0 0 1 0 0 g 1 0 1 0 0 0 1 0 h 1 0 1 0 0 0 0 1

Рис.2.5 .б R2(i,j) а b с d e f g h а 1 1 1 0 0 0 0 0 b 1 1 0 1 1 1 0 0 с 1 0 1 0 0 0 1 1 d 0 1 0 1 0 0 0 0 e 0 1 0 0 1 0 0 0 f 0 1 0 0 0 1 0 0 g 0 0 1 0 0 0 1 0 h 0 0 1 0 0 0 0 1

Пример 6.

Пусть отношение R - “быть отцом”, опреде­ленное на множестве людей

М = {а, Ь, с, d, e, f, g, h}, пред­ставлено схемой рис. 2.3.

1) Задать списком отношение R.

2) Оп­ределить (назвать) родственные отношения между следую­щими парами: (a, b), (a, d), (b, с), (b, d), (b, h), (с, d).

Решение

1) R = {(а, b), (а, с), (b, d), (b, е), (b, f), (с, g), (с, h )} - “быть отцом”. 2) а - отец для b; а - дед для d; b- родной брат для с; b - отец для d b - дядя для h; с - дядя для d.

В целом заданная матрица отношения R - “быть отцом” - позволяет установить новые отношения между элементами множества М, в том числе:

R₁ = {(a, d), (а, е), (a, f), (a, g), (a, h)} - “быть дедом”;

R₂ = {(b, с), (с, b), (d, е), (е, d), (d, f), (f, d), (е, f), (f, e), (g, h), (h, g)} - “быть родным братом или сестрой”;

R₃ = {(d, g), (g, d), (d, h), (h, d), (e, g), (g, h), (е, h), (h, e), (f, g), (g, f), (f, h), (h, f) - “быть двоюродным братом или сестрой”;

R₄ = {(b, g), (b, h), (c, d), (c, е), (c, f)} - “быть дядей”;

R₅ = {(g, b), (h, b), (d, c), (е, c), (f, c)} - “быть племянницей”;

R₆ = {(b, a), (с, a), (d, b), (е, b), (f, b), (g, c), (h, c)} - “быть сыном или дочерью”.

Уточним потомков b и c. Пусть d и g – дочери,

e, f и h – сыновья для b и c соответственно. Тогда:

R₇ = {(b, с), (с, b), (е, f), (f, e)} - “быть родным братом”

(очевидно, что R_{7 } R₂);

R₈ = {(b, с), (с, a), (е, b), (f, b), (h, c)} - “быть сыном”

(очевидно, что R_{8 } R₆);

R₉ = {(d, с), (g, b)} - “быть племянницей”

(очевидно, что R_{9 Í} R₅);

Пример 7

Пусть M- множество клеток шахматной доски, M = X x Y, где

Х = {а, b, с, d, e, f, g, h},

Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Определите бинарное отношение R_Л на M для ладьи так,

что (m₁, m₂) R_Л тогда и только тогда, когда m₁ и m_{2 –}

элементы M и ладья может пройти от m₁ к m₂ одним ходом на пустой доске. (Задать R_Л описанием его характеристического свойства).

Решение

Ладья за один ход на шахматном поле может изменить либо горизонтальную координату, либо вертикальную, но не обе координаты вместе.

Обозначим m₁, m₂  M : m₁ = (х_1, у₁), m₂=(х_1, у₁),

где х_1, х₂ X, y_1,y₂ Y.

Тогда

R_Л = {( х_1, у₁), (х_2, у₂) : (х₁ = х₂ и у₁  у₂) или (x₁  x₂) и (у₁ = у₂)}

Пример 8

Для отношения R_, заданного в примере 1, установить области определения и значений.

Решение

Область определения D(R) = {1, 2, 3, 4, 5},

область значений Q (R) = {2, 3, 4, 5, 6}.

Пример 9

Пусть некоторая программа читает два числа

из множества M = {1, 2, 3, 4, 5}, обозначаемых х и у и,

если х  у, печатает число z (также из M) такое,

что х  z у.

В любом случае программа останавливается после считывания

всех чисел на множестве М.

Чему равны области опре­деления и значений отношения?

Решение

При поступлении на вход программы двух чисел

х, у  М таких, что х<у, программа выдает результат z такой,

что х < z <у, т.е. устанавливает отношение R  М х М

такое, что

R = {(( х, у), z): х < у, х  z < у)}:

R = {((1, 2), 1); ((1, 3), 1); ((1, 3), 2);

((1, 4), 1); ((1, 4), 2); ((1,4), 3);

((1,5), 1); ((1,5), 2); ((1,5), 3); ((1,5), 4);

((2,3), 2); ((2, 4), 2); ((2, 4), 3); ((2, 5), 2); ((2, 5), 3); ((2, 5), 4);

((3,4), 3); ((3,5), 3); ((3,5), 4);

((4, 5), 4)}.

D(R) = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3,5), (4,5)}.

Q(R) =1,2, 3,4}.