§ 3.4. Гомоморфизмы и изоморфизмы

Множество Мвместе с заданными на нем операциями {ф , Ф2,фи} называется алгеброй. Обозначение алгебры:

(М; ф,, ф2,..., фт),

где Мназывается основным множеством (несущим множеством, носителем), а I = {фр ф2,..., фт} - сигнатурой алгебры Ж

Примером алгебры является полугруппа - множество М с заданной на нем одной бинарной ассоциативной операци­ей (обозначается: . ), т.е. {М; .}, например множество натуральных чисел N с операцией сложения + на нем, т.е. <_9Г= {vV; +} является полугруппой.

Типом алгебры ■ 'Ж называется вектор арностей операций сигнатуры. Например, в алгебре {9i; +, х}, где - мно­жество действительных чисел, + и х - соответственно опе­рации сложения и умножения (такая алгебра называется по­лем действительных чисел), сигнатура 2 = {+, х} включает две бинарные операции - сложение и умножение. Поэтому тип данной алгебры (2, 2).

Множество М вместе с заданными на нем отношениями {Ry, R2,..., RJ называется,моделью. Обозначение модели:

Ж= {M-RvR2,...,Rn),

где М- несущее множество (универсум), I = { Rx, Rr..., Rn}~ сигнатура модели Ж. Например, моделью Жх является мно­жество Мх чисел с отношениями: “быть больше” (>) и “быть равным” (=), т.е. Жх = (М]; >, =), или некоторое множество Ж2 людей с отношением R - “быть руководителем”, т.е. Ж2 = (М2; R), и т.д.

Множество Мвместе с заданными на нем операциями {фр ф , ...,фт} и отношениями {Rr R2,Rn} называется алгебра­ической системой, или алгебраической структурой. Обозна­чение алгебраической структуры:

т= (М; фр ф2,фт; Rv R2,

Примером алгебраической структуры является так назы­ваемая решетка - множество Мс заданными на нем: одним бинарным отношением частичного порядка (обозначение <) и двумя бинарными операциями (п и u): {М; < ; n, и}.

Таким образом, алгебры - это алгебраические структуры с пустым множеством отношений. Другим частным случаем алгебраических структур являются модели, т.е. множества, на которых заданы только отношения.

Пусть между множествами А и В установлено соответ­ствие Г - отображение А в В, т.е. Г: А —» В. Это означает, что каждому элементу а т А поставлен в соответствие Г един­ственный элемент а из В, т.е. Г(а) = а. Пусть также на мно­жестве А задана операция ф, на множестве В - операция у, обе одинаковой арности, например обе бинарные, так что a<pb = c, а,Ь,с е А, и а Р = у, а,[3,у е В. Таким образом, имеем две алгебры (А; ф) и (В; у).

Тогда отображение Г: А —> В называется гомоморфизмом алгебры (А; ф) в алгебру (В; у), если выполняется условие:

Г(а ф Ь) = Г(а) у Г(6). (3.1)

Условие гомоморфизма (3.1) требует (см. рис. 3.9), чтобы отображение Г результата с = a<pb выполнения на множестве А операции ф над элементами а и Ь, т.е. Г (с) = Т(ауЬ), совпа­дало с результатом у выполнения на множестве В опе­рации \фг над ото­бражениями этих элементов, т.е. над Г(л) = а и Г(6) = р.

Проверка усло­вия гомоморфиз­ма заключается в Рис 3.9

следующем. В соответствии с левой частью условия (3.1) сна­чала над элементами а и b из А должна быть выполнена опе­рация ф, а затем результат с = а(рй выполнения операции ф отображается из А в множество В. В соответствии с правой частью условия (3.1) требуется сначала выполнить отобра­жения элементов а и b из множества АъВ, т.е. найти Г (а) = а и Г(А) = Р, а затем над а и Р выполнить операцию \\i (задан­ную на множестве В), т.е. Г(а) ц/ Г(6),или а \\> р = у. Условие

будет выполнено, если результат отображения элемен­та с = а (р b из Л в В совпадает с элементом у из В, т.е. если Г(с) = у.

Если при этом отображение Г: А —» В является взаимно однозначным соответствием, оно называется изоморфизмом алгебры (А; ф) на алгебру (В; v|/). В этом случае существует и обратное отображение Г~1: В —> А, также взаимно однознач-

НОС'

Г~'(ац/ Р) = Г-1(а)фГ ,(Р)-

Отображение Г-1 - это, в свою очередь, изоморфизм В на А. Итак, если существует изоморфизм А на В, то существует изоморфизм В на А. При этом алгебры (^4;ф) и (В;ц/) назы­ваются изоморфными.

В более общем случае, если на множествах А и В заданы несколько операций соответственно (А; ф , ф ,..., фт) и (В; \\jv ,..., ц/т), отображение Г: А —> В является гомоморфиз­мом алгебры (А; <р], ф2,..., фт) в алгебру (В; у,, у2,..., ц/т), если условия, аналогичные (3.1), выполняются для каждой пары операций ф, и ц/|5 ... , фт и ут.

В силу взаимной однозначности соответствия Г: А —> В при изоморфизме мощности основных множеств изоморф­ных алгебр равны. Поэтому проверка алгебр на изоморфизм сводится к проверке условия гомоморфизма для каждой пары операций и установления взаимной однозначности соответ­ствия Г (равной мощности множеств А и В).

Аналогично определяется гомоморфизм (изоморфизм) множеств с отношениями - моделей (A; Rr R2, ..., R ) и (B;R/,iy,...,R/).

Пусть, например, на множестве А задано бинарное отно­шение R(a,b), a,b е А, и на множестве В-бинарное отноше­ние R'(a,Р), а,Р е В. Тогда отображение Г: А -+ В является

гомоморфизмом модели (А\ R) в модель (В; R'), если для лю­бой пары элементов а,Ь из А такой, что а и b находятся в отношении R. следует, что их отображения Г(я) = а и Г(6) = (3 находятся в отношении R' (см. рис. 3.10). т.е.

a R b влечет Г(а) R' Т(Ь) для любых а,Ь е А. (3.2)

Если при этом ото­бражение Г: А —> В яв­ляется взаимно одно­значным соответствием, оно называется изомор­физмом модели (A; R) на модель (В; R'). В этом случае существует и об­ратное отображение Г-1:

В -> А, также являющееся изоморфизмом:

а Я'Р влечет Г"1 (а) R Г"1 (Р) для любых а,Р е В.

При этом модели (A: R) и (В; R') называются изоморфными.

Понятие гомоморфизма (изоморфизма) для алгебраичес­ких структур вводится аналогично тому, как это сделано для алгебр и моделей, при этом должны выполняться условия сохранения и операций, и отношений.

Понятие изоморфизма - одно из важнейших понятий в современной математике. Так, из условия изоморфизма сле­дует, например, что любое эквивалентное соотношение в алгебре .^сохраняется в любой изоморфной ей алгебре 3?. Это позволяет, получив такие соотношения в алгебре ^ ав­томатически распространить их на все алгебры, изоморф­ные Ж В частности, изоморфизм сохраняет свойства ассо­циативности, коммутативности и дистрибутивности опера­ций, а также рассматриваемые выше свойства отношений.

Важным примером изоморфных алгебр являются так на­зываемые булевы алгебры (подробнее см. в § 4.6), в том числе:

(Р(£/); о, и, -) - булева алгебра множеств.

Здесь Р({7) - множество всех подмножеств (булеан) мно­жества U;

{п, и, -} - соответственно операции пересечения, объе­динения, дополнения над множествами;

(Вп\ <£\ v, -) - булева алгебра двоичных векторов дли­ны п.

Здесь Вп - множество всех двоичных векторов длины п, т.е.

Вп = В х В х ... х В = В", где В - {0,1};

{&, v, -} - операции логического (покомпонентного) ум­ножения, сложения и дополнения соответственно, опреде­ленные следующим образом:

для любых векторов а = (а,, а2,..., ап) и (3 = (Рр Р2,..., Ри):

а) а & р = (а, & р,, а2 & р2,..., аи & ря), при этом а, & р, = 1, если а, = Р, = 1,иагс&Рг=0 -в любом другом случае, т.е.

« Л R J eC™ а‘ = 1 И =

“Pi ] л

[О-в противном случае;

б)avp = (a, vp,,a2vp2,... ,anvpn),приэтома, vp, = 0, если а, = Р, = 0, и а, v р , = 1 - в любом другом случае, т.е.

f 0, если a, =0 и Р . =0,

Q- i v Р г — I ..

[ 1 - в противном случае;

в) a =(a],a2,„. ,a^),

_ 1, если a, = 0,

где a =

[ 0 - если a , = 1.

Изоморфизм булевых алгебр широко используется в ком­пьютерных вычислениях, например при необходимости вы­полнения операций над множествами с применением соот­ветствующих и легко реализуемых на компьютере поразряд­ных операций над соответствующими двоичными векторами.

Пример 1. Пусть Л/1 - множество сотрудников органи­зации и - заданное на нем отношение “быть старше” (>-); М2 - конечное множество натуральных чисел (ограни­ченное, например, числом 100) и R2- заданное на нем от­ношение “быть больше” (>). Гомоморфны (изоморфны) ли модели:

^Г = (М};у) и дГ=(Л/2;>)?

1. Определим отображение Г: М2 следующим обра­зом: каждому сотрудник}' организации из М{ поставим в соот­ветствие Г число из М2, соответствующее его возрасту (в го­дах). Установленное таким образом отображение Г: Л/(—»Л/2 является гомоморфизмом моделей <&= (М,; >) и 0= (М2, >), так как очевидно выполняется условие (3.2). Дей­ствительно, если ‘Иванов ’,37 лет, старше ‘Петрова ’, 26 лет, т.е.

‘Иванов’>- ‘Петрова’ и Г(‘Иванов ’) = 37,

Г( ‘Петров ’) = 26, то и 37 > 26.

Однако установленное отображение Г: М} -» М2 не яв­ляется изоморфизмом моделей (Л/ ; >-) на 0= (М2; >), так как не является в общем случае взаимно однозначным (если в организации имеются сотрудники одного возраста, например ‘Петров ’ 26 лет и Сидоров' 26 лет. В этом слу­чае обратное соответствие Г'1 не является отображением, поскольку не функционально (отсутствует единственность образа 26 на множество сотрудников организации).

Таким образом, заданные модели ,9Г= (М.; >-) и 0 = (М2; >) гомоморфны, но не изоморфны.

Пример 2. Пусть Zn - множество всех целых чисел, Z2n - множество всех четных целых чисел. Изоморфны ли следу­ющие алгебры:

а) (Zn; +) и В = (Z2n; +) при отображении Г: л -» 2л,

б) <5Г= (Zn; +) и В = (Zn; +) при отображении Г: л -> (-л),

в) 3(= (Zn; х) и В = (Zn; х) при отображении Г: л -» (-л),

г) (Zn; х) и В = (Z2n; х) при отображении Г: л -> 2л,

д) Ж= (Zn; +, х) и В = (Z2n; +, х) при отображении Г: л -» 2л, где +, х - операции арифметического сложения и умноже­ния соответственно.

а) Условие гомоморфизма для алгебр = (Zn ; +) и 0= (Z2n; +) проиллюстрировано на рис. 3.11, где изображе­ны два множества Zn, Z2n и в Zn выделены произвольные два элемента а, Ь.

В соответствии с левой частью условия (3.1) гомоморфиз­ма для бинарных операций выполним над а и b операцию сложения + алгебры & и отобразим результат с = а +Ь в множество Z2n алгебры 0. При заданном отображении

Г: п —> 2п элементу с множества Z соответ-

П

ствует элемент 2с мно­жества Z. , т.е. левая

я5

часть условия (3.1) при­мет вид:

Т(с)=Г(а)+Г(Ь)?

Рис. 3.11

Г(а + Ь) = 2 (а + Ь).

Правая часть усло­вия (3.1) требует снача­ла отображения элементов а,b в множество Zln (получаем Г(<я) = 2а, Г(Ь) = 2Ь), а затем осуществления над их отобра­жениями операции сложения (+) алгебры <&, т.е. правая часть условия (3.1) примет вид:

I» + Г(6) = 2 а + 2 Ь.

Таким образом, условие гомоморфизма (3.1) для алгебр М= (Zn;+)u0= (Z2n; +) при отображении Г: п —> 2п имеет

ВВД' Г (а+Ь) = Г (а) + Г(й), т.е.

(а + Ь) = 2а + 2 Ь.

Так как данное условие выполняется, алгебры <5Ги 'jS го­моморфны, а в силу взаимной однозначности отображения Г: п -> 2п они и изоморфны.

б) Отображение Г: п -> (-п) для алгебр (Z ; +) и <$= (Zn; +) является изоморфизмом. Действительно, усло­вие (3.1) имеет вид

(а+ Ь)= (-а) + (-b)

и,кроме того, отображение Г: п —> (-п) (каждому целому чис­лу и в алгебре ЗГ соответствует то же целое число, но с про­тивоположным знаком (-п) в алгебре $9) - взаимно однознач­но.

в) Отображение Г: п -> (-п) для алгебр .9^= (Zn ; х) и (Zn; х) не является ни изоморфизмом, ни гомоморфиз­мом, так как не выполняется условие (3.1) гомоморфизма:

(а ■ Ь) Ф (- а) ■ (-Ь).

г) Алгебры <9Г= (Zn; х) и <&= (Z2n; х) не являются гомо­морфными, а значит, и изоморфными при отображении

Г: п —> 2п, поскольку для них не выполняется условие гомо­морфизма (3.1):

2(а ■ Ъ) Ф 2а ■ 2Ъ.

д) Дм алгебр -9(= (Zn; +, х) и 0= (Z2n; +, х) при отображе­нии Г: п —> 2п условие гомоморфизма выполняется для опера­ций сложения и не выполняется для операций умножения [см.

а) и г)], поэтому алгебры <5Г и ^не являются гомоморфными.

Пример 3. Гомоморфны (изоморфны) ли алгебры (9? + ; х) и (91; +) при отображении Г: а log а (91, 91 + - множе­ства действительных и положительных действительных чи­сел соответственно)?

^ Алгебры (9? +; х) и (91; +) изоморфны при задан­ном отображении Г: а —> log а, так как выполняется ус­ловие (3.1):

log (а-Ъ) = log a - log Ъ и отображение Г: а —» log а взаимно однозначно. В частно­сти, этот принцип (изоморфизм указанных алгебр при дан­ном отображении) используется при вычислениях с помо­щью логарифмической линейки.

Пример 4. Изоморфны ли булевы алгебры множеств (Р(£7); п, и, -) и (P(t/'); n> ~)> образованные двумя раз­личными множествами U и U' одинаковой мощности?

^ Алгебры (р(С/>; о, и, -) и (Р(?У'); п, и, -), где \ll\ =

I U' |, изоморфны, так как операции у них просто одина­ковы, а отображением Г может служить любое взаимно од­нозначное соответствие между UuU'. Например, множе­ства U = {1, 2, 3} и U' = {а, Ь, с} одинаковой мощности,

t/| = | U' I = 3. Тогда отображение Г: {1 -> д, 2 -> й, 3 -> с} задает изоморфизм алгебр ((3(Л7); п, и, -) и (Р(£/'); п, и, -).

Пример 5. Пусть алгебры (N\ +) и 0= (N3; Ф), где Ф - сложение по модулю 3 и N} = {0, 1, 2}, и отображение Г: N —> N3 определено следующим образом: Г (и) равно ос­татку от деления л на 3. Иначе говоря,

если п = За + Ь, где b < 3, то Г(л) = Ь.

Например, 201=0, 2®2 = 1и т.д.

Гомоморфны (изоморфны) ли алгебры ^Г= (N\ +) и

2?=(jV3;0)?

Пусть п{ = За( + Ь{ и п2 = Ъа2 + Ь2 - два произвольных натуральных числа из N\ bvb2 < 3. Проверим условие (3.1):

Г(и,+ п2) = Г(и,) 0 Г(и2),

П^За^ А, + Ъа2 + Ь2) = Г(3<з1 + Ьх) © Г(3а2+ Ь2), Г(61+Й2) = Г(Й1)ФГ(Й2),

Г{Ь + Ь2) = Ь1® ъ2.

Очевидно это условие выполняется. Например, пусть п = 56, п = 37. Тогда 56 = 3-18 + 2, 37 = 3-12 + 1; подставив в полученное условие гомоморфизма, убедимся в его выпол­нимости:

Г(2+ 1) = 2 0 1,

= 0.

Таким образом, отображение Г - гомоморфизм. Но оно не является изоморфизмом, так как нет взаимной однозначнос­ти для Г: N -»iV3.

Этот пример показывает, что возможен гомоморфизм бес­конечной алгебры (т.е. алгебры с бесконечным основным множеством) в конечную алгебру.

Пример 6. Изоморфны ли модели (Р(£У); с ) и (Д; <), где: Р((7) - множество всех подмножеств (булеан) множества U = {а, Ъ, с};

Въ - множество всех двоичных векторов длины 3; с:-отношение нестрогого включения;

< - отношение нестрогого порядка над векторами такое, что для двух двоичных векторов т = (т15т2,т3) и о = (а1,а2,а3);

т <а, т.е. (т,, т2, т3) < (а,, а2, ст3),

если и только если т, < ар т2 < а2, т3 < ст3.

Например, (1 0 0) < (1 0 1), но (1 0 1) и (0 1 1) несравнимы.

р(С7)= {0, {а}, {b}, {с}, {а, Ь}, {а, с}, {Ъ, с}, {а, Ъ,с}}\ въ = {(0 0 0), (0 0 1), (0 1 0), (0 1 1), (1 О 0), (1 О 1), (1 1 0),

(1 1 1)} (для упрощения обозначений запятые между компо­нентами векторов опущены).

Мощности этих множеств равны: | р(£/) | = | Въ \ = 8. Ото- бражение Г: р((У) —> Въ является взаимно однозначным (см. также пример 4 из § 3.1):

Г: 0 -» (0 0 0), {а} ->(10 0), {Ь} -> (0 1 0),... , {а, с} -» ->(10 1),... , {а, Ь, с} -> (1 1 1).

Остается показать, что условие гомоморфизма (3.2) вы­полняется для заданных отношений:

А с £ влечет Г(Л)<Г(В) для любых А,В е Р(£У); A,BqU. Смысл этого условия заключается в следующем. Если два множества А, В из р(£/) сравнимы по отношению включе­ния <=, то соответствующие им векторы т и а из б, такие, что Г(А) = х и Г(5) = а, сравнимы по отношению неравенства < и из того, что А е В, следует, что х < а.

Очевидно, что данное условие выполняется. Например, из того, что {а} с {а, с} следует (1 0 0) < (1 0 1). А в силу взаимной однозначности отображения Г справедливо и об­ратное, например из того, что (0 1 0) < (1 1 1), следует, что {6} с {а, Ь, с}:

х < а влечет Г-1 (т) с Г-1 (а) для любых т, а е Ву Таким образом, установленное отображение Г: р(/7) -» Въ является изоморфизмом; модели (р(£/); <= ) и (Ву <) изомор­фны. Отметим, что изоморфными будут и другие аналогич­ные модели (p(L0; с ) и (Вп; < ), если мощность несущего множества | Ь\ и длина векторов п из Вп равны, т.е. \и\ = п. В этом случае выполняется взаимно однозначное соответ­ствие

Г:р(10->в„ |Р(!7)| = |В„|.

Пример 7. Используя установленное в предыдущем при­мере взаимно однозначное соответствие между множества­ми из Р(£/), где U= {а, Ь, с), и двоичными векторами длины

из Въ, проиллюстрировать на примере конкретных мно­жеств А= {а, с} и В = {Ь, с}, А,В с U, изоморфизм между булевыми алгебрами множеств (р(£7); п, и, -), | и\ = 3, и двоичных векторов длины 3 (В3; &, v, -).

^ Для U= {а, b, с}-.

Р(£/) = {0, {a}, {bj, \с}, {d}, {а, b}, {а, с}, {Ь, с}, {а, Ь, с}}. При и = 3 | p(Lr) I = | В3|=8:

В3= {(ООО), (00 1), (0 1 0),(01 1), (1 00),(1 0 1), (1 1 0), (111)}.

Установленное в примере 5 взаимно однозначное соот­ветствие Г: Р(U) -> В, для заданных множеств А = {а, с} и В = {Ь, с} имеет вид:

Г(Л) = Г({я, <•}) = (! 01) = а, Г(В) = Г({*,с}) = (01 1) = Р и наоборот

Г-'(а) = Г '((1 0 1))= {а, с}; Г '(Р) = Г'((0 11))= {Ь, с}.

Подтвердим теперь выполнение условия гомоморфиз­ма для каждой пары операций булевых алгебр на примере множеств A,BcU:

а)Г(Л пВ) = Ща,с) п {Ь,с}) = Г({с}) = (0 01) = (1 01) Л <6(0 1 l) = a<feP;

б) Г(Л иВ) = Г({я, с} и {Ь, с}) = Г({а, Ъ, с}) =(111) = = (1 0 1) v(0 1 1) = a vp;

в) Г( А ) = T(U\А) = Г({а, Ь, с} \ {а, с}) = Г({6}) = (0 1 0) =а.

Таким образом, для трех пар булевых операций имеет

место выполнение условия гомоморфизма:

а) Г(Л п В) = a & р;

б) Г(Л_и В) = a v р;

в) Г(А ) = а.

Алгебры (р(£/); п, и. -) и (В3; &, v, -) гомоморфны, и отображение множеств Г: Р(£/) -» В3 взаимно однозначно. Следовательно, данные алгебры также и изоморфны при дан­ном отображении (см. также пример 4 § 4.6).

Упражнения

Пусть Му, - множество степеней двойки; М2п - множе­ство четных чисел, п е N. Гомоморфны (изоморфны) ли ал­гебры и $§', если:

а) (tV; +) и ^= (М2„\ +) при отображении Г-, п -> 2";

б) &= (N\ +) и gS= (М2„; х) при отображении Г: п -» 2”;

в) &= (тV; +) и д$= (М2п; +) при отображении Г: п -» 2и;

г) М= (N; х)и&= (М2п; х) при отображении Г: п -> 2п;

д) (N\ +, х) и 0= (М2п; +, х) при отображении Г: п -> 2п ?

Гомоморфны (изоморфны) ли алгебры Жн 0 при ото­бражении Г: N -» N5, если:

а)JT=(JV;+), 0= (N5; ®);

б) {N\ х). <%= (N5; ®);

в) <&= (N;+, х), 0= (Ns ; 0, 0) ?

Примечания: a) Ns = {0, 1, 2, 3, 4} с N ;

б) отображение I : Л' —> .V, такое, что для п е /V, п = 5а + Ь, где b < 5, Г(и) = Ь:

л, - и,

в) бинарные операции сложения и умножения по модулю 5 (®, ®) такие,

и, + я.

остатки от деления на 5

5 )■ ' L V 5 соответственно суммы и произведения чисел п + п2, nt- пг,

г) при проверке условия гомоморфизма удобно представить: nt = 5а,+ 6,, п2=5а2 + Ь1

	0	1	2	3		0	1	2	3
0	3	3	1	2	0	1	0	0	2
1	2	2	3	1	1	2	3	3	0
2	2	2	0	1	2	3	0	0	2
3	1	0	1	0	3	2	2	1	1

Рис. 3.12

0, 3 —> 3 гомоморфизмом, изомор-

Является ли для заданного множества Uалгебра (Р(£У); п, и) изоморфной алгебре (P(f7); п, и) при отображении Г: А—> А ,гдеА- элемент множества Р (U), А - его дополне­ние.

0={N- 0'), где N4= {0, 1,2, 3} и операции 0 и 0' заданы таблицами Кэли, (рис. 3.12) (см. § 3.3).

Является ли отображение

Г: 0 —> 1,1 —> 2, 2 физмом?

В булевой алгебре двоичных векторов длины 6 (В6; &, v, -) выполнить операции над векторами а и Р, определен­ные на стр. 103, если1.

а) а = (1 0 1 10 0), р = (1 0 0 1 0 1);

б) а = (0 1 1 0 1 0), р = (0 1 0 0 1 0);

в) а = (00 1 1 01), р = (0 1 0 1 0 1).

Задать таблицами Кэли операции булевых алгебр:

а) (Р(£У); п, и, -) при 11/\ = 2;

б) (В 2; &, v, -).

Проиллюстрировать на конкретном примере изомор­физм булевых алгебр (Р((У); п, и, -) и (*; v, -) на приме­ре множеств А,В с U, если:

а)А = {2, 3, 6}, Я={1,2,4,6}, £/={1,2, 3,4, 5, 6};

б)А = {а, Ь, с, d,J),B= {b, с, e,f), U= {a,b,c,d,e,J}\

в)^ = {1,2,4,6}, Я={2,3,5,6}, С/= {1,2, 3,4, 5,6};

г )А = {a,c,d,e}, B={a,b,c,J}, U = {а, b, с, d, e,J).