§ 3.3. Операции

Операцией называют функцию, все аргументы и значе­ния которой принадлежат одному и тому же множеству.

В общем случае n -местная функция типа j : М х М х ... х М  М (иное обозначение j: Мⁿ  М) называется n-арной операцией на множестве М. В таких случаях говорят, что множество М замкнуто относительно операции j (резуль­тат выполнения операции j на М принадлежит М).

В частности:

1. Функция одного аргумента j (х) = у,

имеющая тип j: М ® М, называется унарной операцией.

Примеры унар­ных операций:

• элементарные функции е^x, log x, sin x, и др.;

• операция над множествами - дополнение ;

• отображения типа А ® А, такие как преобразования, перестановки;

операции над отношениями: дополнение , обратное отношение R ^-1,

составное отношение R⁽²⁾ = R° R, транзитив­ное R° и рефлексивное R* замыкания и др.

2. Функция двух аргументов j (х, у) = z, имеющая тип j: М х М  М, называется бинарной операцией.

Примеры бинарных операций:

• арифметические операции:

сложение, вычитание, умно­жение, деление, возведение в степень;

• операции над множествами: пересечение , объедине­ние , разность \;

• операция композиции функций, отображений, отноше­ний и др.

Если над элементами a,b  М выполняется опера­ция j,

дающая результат z  М,

то это записывается часто как а j b = z.

Свойства бинарных операций:

1) j - ассоциативна, если для любых а,b,с из М

(а j b) j с = а j (b j с)

(арифметические операции сложения и умножения, опера­ции пересечения и объединения множеств, композиция ото­бражений - ассоциативные операции).

Выполнение этого условия (свойства ассоциативности) означает, что скобки в выражении а j b j с можно не расставлять;

2) j - коммутативна, если для любых а, b, с

а j b = b j а

(арифметические операции сложения и умножения, опера­ции пересечения и объединения множеств - коммутативные операции;

арифметические операции вычитания и деления, операция разности множеств, композиция перестановок и преобразований типа А ® А конечного множества - неком­мутативны);

3) j - дистрибутивна слева относительно операции , если для любых а, b, с

а j (b y с) = (а y b) y (а j с)

и j дистрибутивна справа относительно операции y, если для любых а, b, с

(а y b) j с = (а j с) y (b j с)

арифметические операции умножения и деления дистри­бутивны относительно операций сложения и вычитания сле­ва и справа,

но не наоборот:

операции сложения и вычита­ния недистрибутивны относительно операции умножения и деления;

операции объединения и пересечения множеств ди­стрибутивны относительно друг друга слева и справа.

Способы задания операций.

Так как операция яв­ляется функцией, то для ее задания применимы любые спо­собы задания функций, перечисленные в предыдущем пара­графе. Приведем некоторые наиболее употребимые спосо­бы представления унарных и бинарных операций.

1. Способы задания унарных операций : М ® М на ко­нечном множестве М= {а₁, а₂,..., a_n

• Перечнем всех аргументов а из М (для частично опре­деленной операции - из ее области определения np₁ j  М)

и соответствующих им значений b, a,b  М,

представлен­ных строкой j = (а₁ ®b, а₂ ® b₂, ...,а_n ® b_n),

а чаще парой строк:

В случае, если предварительно зафиксирован список (по­следовательность) элементов (а₁, а₂, ...,а_n) множества М, то для задания операции j достаточно указать вектор значений (b₁, b₂, ...,b_n).

При этом j (а₁) = b₁, т.е. результат выполнения операции j для i-го аргумента списка равен i-й компонен­те вектора значений.

• Списком всех пар “аргумент-значение” (а, b)  j, а,b  М, для всех возможных значений аргументов:

j ={( а₁, b), (а₂, b₂),...,(а_n, b_n)}.

Число таких пар |np₁ j | = m  |M| = n

• Формулой j (а) = b, например lg а = b.

2. Способы задания бинарных операций ф: М х М —» М на конечном множестве М= {о,, а2,..., ап}:

	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

Рис. 3.5

Таблицей Кэли - для чего слева и сверху таблицы выписы­ваются все значения аргументов а и Ъ из множества Л/соответ­ственно, а на пересечении строки, соответствующей аргументу

а, и столбца, соответствующего аргументу Ь, записывается ре­зультат с операции ф над а и Ъ. На рис. 3.5 приведена таблица Кэли для операции, называемой “сложени­ем по модулю 3” на множестве М= {0, 1, 2} и обозначаемой “mod 3”, или ®3 (результат с вы­полнения операции ®3 равен остатку от деления суммы аргументов (а + Ь) наЗ).

Списком всех троек (а, Ь, с), где а,b - соот­ветственно первый и второй аргументы из М, с- результат выполнения операции ф над а и b, a,b,c е М. Для всюду определенной операции число всех троек в списке \М х М\ = = п2. Например, для операции сложения по модулю 3: ©3 = ={(0,0,0),(0,1,1),(0,2,2),(1,0,1),(1,1,2),(1,2,0),(2,0,2),(2,1,0),

(2,2,1)}.

Формулой ф(а, Ь) = с - так называемое префиксное пред­ставление операции; иное - инфиксное - представление би­нарной операции формулой а ф b = с, например а ®3 b = с, где ®3 - операция сложения по модулю 3.

Пример 1. Являются ли ассоциативными:

а) бинарные арифметические операции;

б) бинарные операции над множествами?

а) Арифметические операции сложения и умножения ассоциативны, так как выполняются условия:

(а + Ь) + с = а + (Ь + с), например (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3); (а х Ь) х с = а х (Ь х с), например (5 х 2) х 3 = 5 х (2 х 3).

Операции вычитания, деления и возведения в степень неассоциативны, так как

(iа-Ь)-с Ф а-{Ь -с), например (12 -6)-2 Ф 12-(6-2), т.е. 4*8;

(а : Ь) \ с ф а :(Ь : с), например (12 : 6): 2 Ф 12 : (6 : 2), т.е.

ф 4;

(аь)с ф а(ЬС\ так как аь с Ф аь\ например (22)3 ф 2(23), т.е. 26 ф 28.

б) Операции объединения и пересечения множеств ассоциативны, операция разности множеств неассоци­ативна:

(А и В) и С = А и (В и С);

(АпВ)пС = Аг\(В г\С)-,

(А \ В) \ С Ф А \ {В \ С).

Проиллюстрируем справедливость данных соотношений на примере конкретных множеств. Пусть А = {а, Ь, с}, В = ={Ь, с, d}, С= {b, d). Тогда:

левая часть первого соотношения: (А и В) и С={{а, Ь, с}и и{6, с, d}) и {b, d} = {a,b,c,d} и {b,d} = {a,b,c.d};

правая часть: A u(8uC]={a,fi,c}u ({b, с, d) и {b, d})= = {а, Ъ, с} и {Ь, с, d} = {а, Ь, с, d};

левая часть второго соотношения: (А п В) п С = ({а, Ь, с}п п{Ь, с, d}) п {b, d} = {b, с} п {b, d} = {6};

правая часть: А п (В п Q = {а, Ь, с} о ({Ъ, с, d} n {b, d}) = = {а, Ь, с} п {b,d} = {b};

левая часть третьего соотношения: (А \ В) \ С = ({а, Ь, с}\ \ {Ь, с, d}) \ {Ъ, d} = {а} \ {Ъ, d} = {о};

правая часть: А \ (В \ С) = {а, Ь, с} \ ({b, с, d} \ {b, d}) = = {а, Ь, с} \ {с} = {а,Ь}, т.е. действительно {а} Ф {а, Ь}.

(Проиллюстрировать справедливость указанных соотно­шений с помощью диаграмм Венна самостоятельно!)

Пример 2. Проиллюстрировать на примерах некоммута- тивность операций:

а) возведения в степень на множестве N\

б) композиции элементарных функций;

в) композиции преобразований и перестановок типа А —> А конечного множества А.

а) Бинарная арифметическая операция возведения в степень некоммутативна, т.е. аь ф Ьа, например 23 = 8, но З2 = = 9, т.е. 23 * З2.

б) Некоммутативность операции композиции элементар­ных функций, т.е. / °g*g°f иллюстрируется примерами 4,

в § 3.2.

в) Иллюстрацию некоммутативное™ операции преобра­зования конечного множества см. в примере 8 § 3.2. (Неком­мутативность операции перестановки на конечном множе­стве проверить самостоятельно!)

Пример 3. Пусть операции композиции о, объединения и и пересечения п определены на множестве бинарных отношений 91. Доказать:

а) ассоциативность операции композиции (составного отношения) о:

R{ ° (R2 о R}) = (Rx о R2) о дз;

б) дистрибутивность слева композиции ° относительно объединения и:

v (Я2 ^*3) = (V *2)и (V *з);

в) дистрибутивность справа композиции ° относительно объединения и:

(RlUR2)oR} = (R^Ri)U(R2oRi).

г) дистрибутивность слева композиции ° относительно пересечения п:

V(*2n*3) = (V/?2)n(V/?3);

д) дистрибутивность справа композиции 0 относительно пересечения п:

(д, n r2) о дз = (/?, о /у п (r2 о /гз).

Так как бинарное отношение RczMx М, по определе­нию, является множеством пар (а, b) е R прямого произве­

дения М х Л/, то для доказательства справедливости свойств

а) - в) можно воспользоваться определением II равенства множеств: А = В, если А с В и В с Л. d)Rl°(R2oR3) = (RloR2)oRy

Пусть пара элементов a,b е М и (a, b) е R{° (R2 ° R3), т.е. принадлежит левой части доказываемого соотноше­ния. Тогда убедимся, что пара (а, Ь) принадлежит и пра­вой части соотношения, т.е. (a. b) е (R{ 0 R2) ° R3iи наобо­рот, если (a, &)е(Я, ° R2) ° R3, то (a, b) е Rl ° (R2 ° R3). Действительно:

(a,b)sR]°(R2°Ri) о (а, с)еЛ, и (с, Ь) е i?2 ° #3 <=> О (а, с) е /?, и (с, d) е R2 и (<i, b) е R3 <=> о (a, d) е R{° R2 и (d, b) е R3 <=> о (Л, о R2) о R3, где c,d е М.

Доказанное позволяет опускать скобки, т.е.

Д, 0 (r2 ° = (R\ 0 R2> oRi = Ri ° Ri° Rr

б) Л, о (R2 u R3) = (Л, о R2) u (Я, о Лз).

Пусть a,b e M и (а, 6) € ° (i?2 и /?3). Тогда (a, 6) € Rx о (i?2 u R3) о (а, с) е i?, и (с, Ь) е /?2 u i?3 <=> о (о, с) е и [(с, 6) е i?2 или (с, £>) е J?3] о

о [(я, с) е и (с, 6) € Л2] или [(а, с) € R{ и (с, 6) е /?3] <=> <=> (а, Ь) е R}° R2 или (а, £) е Л, ° Л3 О (7?, ° /?2) u (7^ ° R}), где с е М.

Аналогично доказывается свойство в) (доказать самосто­ятельно!).

г) V(*2n*3) = (V*2)n(V*3).

О	а	b	0'	а	b
а	а	а	а	*	а
b	Ъ	а	Ь	а	Ъ

Пусть a,b е М и (a, b) е Rx ° (R2 r\ R3). Тогда (a, b) е о (R2 n R3) <=> (а, с) е ^ и (с, 6) е /?2 n R3 <=> <=> (а, с) € i?, и [(с, fe) е R2 и (с, Ь) е Л3] о <=> [(а, с) е Л, и (с, Ь) е Л2] и [(а, с) е R{ и (с, b) е о <=> {a, b) € R} о R2 и (а, b) € R{° R3<^> (Rt ° i?2) n (i?! ° i?3), где с e M

Аналогично доказывается свойство д)

(доказать самостоятельно!).

Пример 4. Какими свойствами отличают- Рис. 3.6 ся операции <8> и <8>', заданные таблицами Кэли (рис. 3.6)?

Проверим операции ® и <8>' на коммутативность:

а) а® Ь = Ь® а? б) а b = b а ?

а Ф Ъ. а = а.

Операция ® - некоммутативна, ®' - коммутативна.

Проверим операции на ассоциативность:

а) Операция <£> неассоциативна, так как не выполняется, например:

(b ® а) 0 b = b ® (а 0 6) ? b ® b = b 0 а? а ф Ь.

б) Операция ассоциативна, так как соответствующее условие выполняется для всех возможных троек аргументов

а, Ъ из М:

(а 0' а) 0' а = а <8>' (а 0' а) ? {а 0’ Ь) 0' а = а 0' (Ъ 0' а) ? Ь0' а = а®' Ь? а®' а = а®' а?

а = а. b = b.

(,а 0' а)®' Ь = а ®' (а ®' Ь) ? (а ®' b) ®' b = а ®' (Ь ®' Ь) ? b®'b=a®'a ? a®'b = a®'b ?

Ь= Ь. а - а.

ОЬ ®' а)®' а = Ь ®' (а 0' а) ? (b ®'b)®'a = b ®' (Ь ®' а) ? а ®'а = b ®'Ь ? Ь®' а = Ь®' а?

Ь = Ь. а = а.

(Ь ®' a)®' b = b ®' (а ®' b) ? (b®'b)®'b = Ъ ®' (b ®' Ъ) ? а®’ Ь= b®' а ? b®,b = b®'bl

а = а. b = Ъ.

Операция ® - неассоциативна, тогда как ®' - ассоциа­тивна.

Проверим операции на дистрибутивность.

а) Дистрибутивность слева и справа <8> относительно ®' не выполняется, так как, например:

а®(а®' а) -(а® а)®' (а® а)1 (а®' a)®b=(a®b)®' (а®Ь)1 a® b = а®' а ? Ъ® b = а®' а 1

а Ф Ь. а Ф Ъ.

б) Дистрибутивность слева и справа ®' относительно ® также не выполняется, так как, например:

а®'(а®а) = (а®'а)®(а®'а)? (а®а)®'а=(а®'а)®(<а®'а)? а®' а = Ь® Ь? а®'а = Ь®Ы

b Ф а. b Ф а.

Операции <8> и <£>' не дистрибутивны слева и справа отно­сительно друг друга.

Таким образом, операция ® - некоммутативна, неассо­циативна и недистрибутивна (относительно операции ®'); операция <8>'- коммутативна, ассоциативна, но недистрибу­тивна (относительно операции ®).

Упражнения

Являются ли коммутативными бинарные операции:

а) арифметические на множестве натуральных чи­сел N;

б) бинарные над множествами?

Проиллюстрировать ответы на примерах.

Показать дистрибутивность справа и слева операции умножения относительно сложения на множестве N. Явля­ется ли дистрибутивной справа (слева) операция возведения в степень относительно умножения, операция сложения от­носительно умножения?

Доказать дистрибутивность справа и слева операций пересечения и объединения относительно друг друга на сис­теме множеств:

А п (В и С) = (А п В) u (A n Q - дистрибутивность слева п относительно и;

А и (Вп С) = (Л и В) п (А и С)- дистрибутивность слева и относительно п;

(Л и В) п С = (А п С) и (А п С) - дистрибутивность справа п относистельно и;

(А п В) и С = (А и С) п (А и С) - дистрибутивность справа и относистельно п.

Проиллюстрировать на примере конкретных множеств, а также диаграммами Венна.

Пусть R{,R2- бинарные отношения, определенные на множестве М- {1, 2, 3, 4}. Показать на примере заданных ниже отношений RX,R2 сМхМ некоммутативностьопера­ции композиции отношений (составного отношения), т.е.

R2 * R2° Rp если:

R} - “быть меньше”, R2 - “быть больше, по крайней мере на 2”;

б) R{ - “быть больше”, R2 - “иметь общий дели­тель, отличный от 1”.

ф	а	h	с
а	Ь	с	а
b	а	Ь	с
с	с	а	Ь
Рис. 3 7

Ф	а	b	ф'	а	b
а	а	ъ	а	Ъ	ъ
1)	Ъ	а	b	а	ъ

Рис. 3.8

ассоциативность и коммутативность опера­ции ф.

данные таблицами Кэли (рис. 3.8)?

Урок № 11