Упражнения

1. Соответствия g1- g8 определены графически на рис. 3.4.

Найти образы и прообразы: чисел 1, 2, 3, 4; отрезков [2, 3], [1, 2], [2, 4], [3, 4], [3, 5].

Каковы свойства соответ­ствий?

Примечание. Для ответа на последний вопрос определите множества А и В: G  А х В

2. Каковы свойства соответствия g между множеством n натуральных чисел и множеством м2n натуральных четных чисел:

G  N х М_2п; G = {(n, 2n): n  N, 2n  М_2n}.

Используя определение равномощности множеств, пока­зать, что множество М_2n натуральных четных чисел счетно.

Д)

Урок № 9

§ 3.2. Функции и отображения

Функцией называется функциональное соответствие.

Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип А В обознача­ется f: A  В Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области зна­чений.

обозначается f (а) = b

Элемент а - аргумент функции

элемент b - значение функции на а.

Отображением А в В называется всюду определенная функция f: А  В. Отображением А на В называется всюду определенное и при этом сюръективное функциональ­ное соответствие f : А ® В.

Отображение типа А ® А часто называют преобразова­нием множества А. Функция типа А ®А, являющаяся ото­бражением А на А, называется перестановкой на А.

Таблица 3.1

Соответствие	Обязательное свойство
	функциональное	всюду определенное	сюръективное
Функция	+
Отображение А в В	+
Отображение А на В	+	+	+

Функции f и g равны, если:

их области определения - одно и то же множество А,

для любого а  A f(a) = g (а).

Функция типа f : А₁ х А₂ х...х А_n ® В называется n-местной и имеет n аргументов: f{a₁,..., а_n) = b,

где а₁  А₁, ...,

а_n  А_n,

b  В.

Пример

Пусть дано соответствие G  :A х В.

Тогда соответствие H  В х А называется обратным к G (обозначается G^-1), если H таково, что (b, а)  Н тогда и только тогда, когда (a, b)  G.

Если соответствие, обратное к функции f:A ® В, являет­ся функциональным,

называется функцией, обрат­ной к f (обозначается f^-1).

Для функции f: A ® В обратная функция существует тогда и только тогда, когда f является взаимно однозначным соответствием между своими облас­тями определения и значений.

Пусть даны функции f: А ® В и g: В ® С.

Функция h: A ® С называется композицией функций f и g

(обозна­чается f _°g), если имеет место равенство

h (х) = g (f (х)), где х А.

Часто говорят, что функция h получена подстановкой f в g.

Для многоместных функций f : А^m ® В, g : Вⁿ ® С возможны различные варианты подстановки f в g, дающие функции различных типов.

Например

при m = 3 и n = 4

функция h = g (x₁, f (y_1, y₂, y₃), x₃, х₄) имеет шесть аргументов

и тип В х А³ х В² ® C.

Функция, полученная из f₁, ..., f_n и некоторой подстановкой их друг в друга и переименованием аргументов, называется

суперпозицией f₁..., f_n.

Выражение, описывающее эту супер­позицию и содержащее функциональные знаки и символы аргументов, скобки, называется формулой.

Способы задания функции:

• графиком;

• таблицей;

• формулой, описывающей функцию как суперпозицию других (исходных) функций;

• рекурсивной вычислительной процедурой.

Например

Функция f (х) = 1 • 2 • 3 •• (х-1) • х = х! описывается рекур­сивной вычислительной процедурой, задаваемой следующи­ми правилами:

1) f (0)=1;

2) f (х+1) =/(х) • (х+1).

Пример 1.

Таблица выигрышей лотереи устанавливает соответствие G между парами чисел из N х N = N² (серия, номер выигравшего билета) и множеством выигрышей M, т.е. G  N²x М.

Является ли заданное соответствие функци­ей, и если - да, то какой?

Решение

Соответствие G  N² х М, задаваемое таблицей выиг­рышей,

является функциональным,

так как для каждой ука­занной пары из N²

(серии, номера билета)

определен конк­ретный (единственный) выигрыш из М.

Таким образом, дан­ное соответствие есть двухместная функция

f : N x N ® M.

Функция такого типа не всюду определена, значит не является

отображением.

Более того, как правило,

число выиграв­ших билетов (мощность области определения пр₁ f)

больше перечня наименований выигрышей (мощности области зна­чений пр₂ f),

поэтому данная функция не обладает един­ственностью прообраза.

В силу сказанного f не является взаимно однозначным соответствием.

Таким образом,

таблица выигрышей лотереи определяет функцию f: N х N ® М,

которая не является отображением

и тем более - взаимно однозначным соответствием.

Пример 2.

Является ли функция f (х) = 2х, имеющая тип N ® N, отображением,

и если - да, то каким?

Имеет ли фун­кция f обратную функцию f ^-1. и если - да, то является ли f ^-1 отображением?

Решение

Функция f (х) = 2х, f : N ® N, всюду определена на N,

однако не сюръективна,

так как область значений фун­кции f равна пр₂ f = М_2n  N

(область значений содержит не все натуральные числа из N, а только четные).

Поэтому f является отображением N в N или преобразованием множества N.

Между областью определения пр₂ f = М_2n и областью значе­ний пр₂ f = М_2n имеет место взаимно однозначное соответ­ствие:

любому элементу n из N соответствует один и только один элемент 2n из М_2n и наоборот.

Поэтому функция f (х) = 2х,

f:N-*N, имеет обратную функцию f ^-1 .

Однако обрат­ная функция f ^-1: N ®N не всюду определена:

ее областью определения является множество четных чисел М_2n  N.

Поэтому обратная функция f ^-1 в отличие от исходной f не является отображением.

Пример 3.

Задать несколько возможных типов для функ­ции f (х) = 2ⁿ.

Для каждого типа определить:

• свойства функции f;

• является ли f отображением и, если является, то каким?

Решение

1. Пусть тип функции f : N ® N.

Тогда f (х) = 2ⁿ всюду определена,

так как пр₁ f = N, но не сюръективна,

поскольку пр₂ f= М₂ⁿ  N (М₂ⁿ- множество натуральных чисел, являю­щихся степенями двойки).

Следовательно, функция f явля­ется отображением N в N.

2. f : N ® М₂ⁿ.

Тогда функция f всюду определена и сюръективна, следовательно, является отображением N на М₂ⁿ.

3. f : N ® R. Функция f всюду определена, но не сюръективна,

т.е. f есть отображение N в R.

4. f : R₊ ® N.

Функция f частично определена и сюръективна,

поскольку область значений f (х) = 2ⁿ при заданном типе функции f представляет множество натуральных чи­сел, т.е. пр₂ f = N,

значит не для всех х  R₊ функция f определена,

т.е. np₁ f  R₊.

Следовательно, f : R₊ ® N не является отображением.

5. f : R ® R. Функция f всюду определена,

но не сюръективна (f не имеет отрицательных значений).

Следователь­но, f- отображение R в R.

6. f : R ®R₊ . Функция всюду определена и сюръективна, т.е. является отображением R на R₊.

Кроме названных свойств во всех случаях f есть функци­ональное соответствие, для случаев 2 и 6 - взаимно одно­значное.

Пример 4.

Чему равна композиция функций f (х) = 2х и g (x) = 1+х?

Решение

Пусть функции f (x) = 2x и g (х) = 1+х имеют тип R ® R.

Тогда их композиции возможны в произвольном порядке.

Композиция функций f _° g = h₁ представляет собой подста­новку f в g, т.е.

h₁ = f _° g = g (f (x)) = 1 + f (x) = 1 + 2х.

Композиция g _° f = h₂ есть функция, полученная подста­новкой g в f т.е.

h₂ = g _° f = f (g (x)) = 2g (х) = 2(1 + x) = 2 + 2х.

Пример 5.

Чему равна композиция функций f (х) = 2^х и g (x) = log₂x?

Каковы области определения функций и их композиций?

Решение

Пусть функции f (х) = 2^х и g (х) = log₂ х имеют тип R ®R,

т.е. отображают одно и то же множество в себя.

Тогда композиция возможна в произвольном порядке и дает функции:

h₁ = f _° g = g (f(x)) = log₂2^x = x ;

h₂ = g _° f = f (g (x)) = 2^log22x.

Области определения исходных функций и их композиций:

пр₁ f = R,

np₂ g = R₊,

пр₁h₁ = R,

пр₁ h₂ = R₊ .

Пример 6.

Функции f и g имеют тип f : А³ ® В, g: В⁴ ® С. Какой тип имеют функции h₁, и h₂ являющиеся композици­ями f и g:

а) h₁ = g (x₁, f (у₁, y₂, у₃), х₃, х₄);

б) h₂ = g (f (у₁, y₂, у₃), f (z₁, z₂, z₃) x₃, x₄)?

Решение

Функция h₁ содержит шесть аргументов

и ее тип h₁ : В х А³ х В² ® С.

Функция h₂ содержит восемь аргументов,

ее тип h₁ : А³ х ^A3 х В² ® С

или h₂ : А⁶ х В² ® С .

Пример 7.

Пусть функция f (x₁, x₂, x₃) = х₁ - 2х₂ + 5х₃.

Определить функции, образованные переименованием:

а) х₃ в х₂;

б) х₁ и х₃ в х₂.

Решение

1. Переименование х₃ в х₂ приводит функцию f (x₁, x₂, x₃) к функции х₁ - 2х₂ + 5х_3, которая равна функции двух аргу­ментов: f (x₁, x₂)= x₁ + 3х₂.

2. Переименование х₁ и х₃ в х₂ приводит к одноместной функции f (х2) = 4х₂.

Пример 8.

Дано множество А = {а, b, с, d} и два преобра­зования этого множества

(т.е. функции типа А ® А, являю­щейся отображением А в А):

= (1 ® 3,2 ® 3, 3 ® 1,4 ® 2);  = (1 ® 2, 2 ® 1, 3 ® 1, 4 ® 3).

Обычно преобразования конечных множеств записывают­ся так:

Чему равна композиция преобразований?

Решение

Композиция преобразований - это новое преобразова­ние:

Упражнения

Задать несколько типов для функции f(x):

a) f (x) = ,	г) f (x) =x\
б) f (x) = sin х,	д) f (x) = lg х,
в) f (x) = 2х+1	е) f (x) = cf.

Для каждого из заданных типов функции f определить:

• свойства f;

• является ли f отображением, и если - да, то каким;

• имеет ли f обратную функцию f ^-1, и если имеет, то является ли f ^-1 отображением.

2. Какой тип имеет функция f (x) = sin х, при котором для f существует обратная функция f ^-1?

3. Чему равна композиция функций f (х) и g (х), если:

а) f (х) = 2х и g (x) = lg x

б) f (х)=x³ и g (x) = ;

в) f (x) = 2^x и g (x) = x+ 1 ?

Каковы области определения функций и их композиций?

4. Функции f и g имеют тип f: А²  В, g: В⁵  С.

Какой тип имеют функции h₁ и h₂, являющиеся композициями f и g:

а) h₁= g (х₁, f (y₁, y₂), f (z₁, z₂), х₄, х₅);

б) h₂ = g{x₁,x₂, f (y₁, y₂), х₄, f (z₁, z₂));

в) h₂ = g (f (y₁, y₂), x₂, f (z₁, z₂), f (u₁, u₂));, x₅) ?

5. Найти композицию преобразований:

Урок № 10