Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
[ЭМЛ] Лекции 8-11.doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
8.41 Mб
Скачать

Лекция № 8 - 11

Раздел 3 соответствия

Тема 3.1 Способы задания взаимосвязей

Соответствие - способ задания взаимосвязей и взаимо­действий между элементами множества (наряду с отноше­ниями R).

Частные случаи соответствий

  • функ­ции

  • отображения

  • преобразования

  • операции ...

§ 3.1. Соответствия и их свойства. Основные определения

Соответствие между множествами А и В это

подмножество G прямого произведения этих множеств: G  A х В.

Если (а, b) G, то говорят, что “b соответствует а при соответствии G ”.

Область определения соответствия Gмножество

np1 G = {а : (a, b) G},

Область значений соответствия G - множество

пр2 G = {b : (а, b) G}

(рис. 3.1).

Свойства соответствий G A х В:

1

Всюду (полностью) опре­деленное соответствие

если np1 G = А

Частично опреде­ленное соответствие

в про­тивном случае

2

Сюрьективное соответствие

Образом элемента а

в множество В при соответствии G

называется множество всех b В, соответствующих элемен­ту а А.

Прообразом элемента b

в множество А при соот­ветствии G

называется множество всех а Î А,

которым соот­ветствует b Î В.

Образом множества С np1 G

называется объединение об­разов

всех элементов а С.

Прообразом множества D пр2 G называется объединение прообразов всех элементов b  D.

если пр2 G = В

3

Функциональное (однозначное) соответствие

если об­разом любого элемента а из области определения пр1 G

явля­ется единственный элемент b из области значений пр2 G.

4

Взаимно однозначное соответствие, если оно:

а) всюду определено;

б) сюръективно;

в) функционально;

г) прообра­зом любого элемента b из области значений пр2 G является единственный элемент а из области определения пр1 G

Если между множествами А и В существует взаимно од­нозначное соответствие, то мощности этих множеств рав­ны

|A| = |В|

Говорят: если множества А и В равномощны, то можно

  • установить равенство мощностей двух множеств,

не вычисляя эти множества;

  • вычислить мощность множества,

установив его взаим­но однозначное соответствие с множеством, мощность ко­торого известна или легко вычисляется.

Множества, равномощные множеству натуральных чи­сел N - счетные.

Множества, равномощные множеству вещественных чисел R - континуальные.

Пример 1.

Пусть G - множество всех пар действитель­ных чисел (х, у), удовлетворяющих соотношению (х-3)2+ +(у - 2)2 < 1.

Определить, чему равны:

а) образы и прообразы чи­сел 2, 3, 4;

б) образы и прообразы от­резков [2, 3], [2, 4].

Каковы свойства соответ­ствия G?

График соответствия G - круг радиуса 1 с центром в точке (3, 2). Таким обра­зом, круг G задает соответствие между R и R (осью абсцисс и осью ординат, рис. 3.2).

Рис.3.2

Определить, чему равны:

а.1) образы и прообразы чи­сел 2,

а.2) образы и прообразы чи­сел 3,

а.3) образы и прообразы чи­сел 4;

Решение а.1)

Найдем сначала образы чисел

Образом числа 2  пр1 G (на оси абсцисс)

при соответствии G

является единственное число 2  np2 G (на оси ор­динат).

Решение

а.2)

Образ числа 3 при соответствии G есть множество всех действительных чисел отрезка [1, 3]

Решение

а.2) образ числа 4

число 3

Решение а.1)

Прообразом числа

2 пр2 G

(на оси ординат) при соответ­ствии G

будет множество всех действительных чисел отрез­ка [2, 4] np1 G (на оси абсцисс)

Решение а.2)

Прообразом числа 3 при соответствии G

число 3

Решение а.3)

Прообразом числа 4 при соответ­ствии G

не существует

б) образы и прообразы от­резков

[2, 3]

Решение б)

Образом множества чисел отрезка [2, 3] Í np1G являет­ся объединение образов всех чисел отрезка, т.е. отрезок [1, 3]  np2G

б) образы и прообразы от­резков

[2, 3].

Решение

Прообраз отрезка [2,3] при соответствии G - это отрезок [2, 4],

б) образы и прообразы от­резков

[2, 4].

Образом отрезка [2,4] будет отрезок

[1, 3] при соответствии G.

б) образы и прообразы от­резков

[2, 4].

Решение Прообраз отрезка [2, 4] будет отрезок [2,4].

Каковы свойства соответ­ствия G?

Решение

Если допустить, что соответствие G установлено на мно­жестве действительных чисел, т.е. G R х R, то оно являет­ся:

  • частично определенным, так как np1 G  R (np 1G  R);

  • не сюръективным, поскольку np2 G  R ( пр2 G  R);

  • не функциональным, ибо для любого числа отрезка [2, 4] = np1 G (кроме чисел 2, 4) отсутствует единственность образа;

  • не взаимно однозначным, так как отсутствуют необхо­димые условия: G не является всюду определенным на R, не сюръективно, не функционально и для любого числа отрезка [1,3] = пр2 G (кроме чисел 1, 3) отсутствует един­ственность прообраза.

Если определить соответствие G  [2, 4] х [1, 3], то,

оно будет всюду определенным и сюръектив­ным,

однако останется не функциональным и не взаимно однозначным.

Пример 2.

Пусть G - множество точек прямой линии, удовлетворяющей соотношению х-2= y => при y,x  0 (рис.3.3).

Каковы свойства соответ­ствия G?

Рис.3.3

Решение

1. Если соответствие G задано на множестве действи­тельных чисел, т.е. G R х R, то G:

  • частично определено, так как np1 G = [2, )  R;

  • не сюръективно, поскольку пр2 G = R +  R, где R + = [0, ) - множество всех положительных действительных чисел с нулем;

  • функционально, ибо любому х из области определения соответствует единственный у из области значений, т.е. для соответствия G имеет место единственность образа для лю­бого х  np1 G;

  • не взаимно однозначно, так как не выполняются усло­вия - всюду определенности и сюръективности.

2. В случае, если соответствие G задано на множестве R + с нулем,

т.е. G R + x R +, тогда соответствие G:

  • частично определено, так как пр1G = [2, ) и пр1 G  R +;

  • сюръективно, поскольку пр2 G = R + ;

  • функционально;

  • не взаимно однозначно, так как не выполняется усло­вие - всюду определенности.

3. При G [2, ) х R + соответствие G:

  • всюду определено;

  • сюръективно;

  • функционально;

  • взаимно однозначно, так как наряду с выполнением пе­речисленных выше условий имеет место также единствен­ность прообраза для любого у  пр2 G.

Пример 3.

Англо-русский словарь устанавливает соответ­ствие между множествами английских и русских слов.

Ка­ковы свойства этого соответствия?

Решение

Данное соответствие не является:

  • всюду определенным (всегда можно найти английское слово, не содержащееся в словаре);

  • сюръективным (по отношению русских слов, имеющих­ся в словаре);

  • функциональным (одному английскому слову ставится в соответствие, как правило, несколько русских);

  • взаимно однозначным (в силу предыдущего).

Пример 4.

Пусть множества (U), где U= {а, b, с}, и В3 определены следующим образом:

(U), - множество всех подмножеств (булеан) множества U= {а, b, с};||

В3- множество всех двоичных векторов длины 3, т.е. В3 = А x А х А, где А={0, 1}.

Показать, что между множествами b(U), и В3 , где U= {а, b, с}, имеет место взаимно однозначное соответствие.

Решение

b(U) ={, {а}, {b}, {с}, {а, b), {а, с}, {b, с}, {а, b, с}};

| b(U)| =8.

В3= {(000), (001), (010), (011), (100), (101), (110), (111)};

3 | =8

(для упрощения обозначений мы опустим запятые между компонентами векторов ).

Установим следующее соответствие G между множества­ми из b(U), и векторами из В3:

  • если в множестве из b(U), присутствует элемент а,

то в соответствующем ему векторе из В3

первая компонента рав­на 1,

если отсутствует - то 0;

  • если в множестве из b(U), присутствует элемент b,

то в соответствующем ему векторе из В3

вторая компонента рав­на 1,

если отсутствует - то 0;

  • установим соответствие между элементом с в множестве из b(U), и значением третьей компоненты век­тора из В3

Например, множеству {b} из b(U),

соответствует вектор (010) из В3, множеству {а, с} - вектор (101) и т.д.:

G:   (000), {а} ® (100), {b} ® (010), {с} ® (001), {а, b] ® (110), {а, с} ® (101), {b, с} ® (011), {а, b, с} ® (111).

ВЫВОД

Очевидно, что установленное таким образом соответствие G является взаимно однозначным, так как выполняются все условия для взаимно однозначного соответствия.

Пример 5.

Каковы свойства соответствия между мно­жеством N натуральных чисел и множеством М2n степеней двойки:

G = {{n, 2n-1): n N, 2n-1 М2n N х М2n ?

Решение

Соответствие G взаимно однозначно:

  • всюду определено, так как np1G = N;

  • сюръективно, поскольку пр2 G = М2n

  • функционально, так как любому n N соответствует единственный образ 2n-1 Î М2n;

  • характеризуется единственностью прообраза,

ибо для любого 2n-1 Î М2n существует единственное п N.

Пример 6.

Используя определение равномощности мно­жеств, показать, что множество М2n натуральных чисел, яв­ляющихся степенями двойки, счетно.

Решение

Установим взаимно одно­значное соответствие между множествами М2n и N. Если каж­дому натуральному n  N поставить в соответствие число 2n-1 Î М2n, соответствие G  N, очевидно, является взаимно однозначным

(удов­летворяет всем требованиям для взаимно однозначного со­ответствия, см. пример 5)

представляет множество всех векторов G = {(n, 2n-1): n ÎN.

А так как мощность множе­ства N счетна, то из установленной взаимной однозначности между множествами N и М2n согласно определению равно­мощности бесконечных множеств, следует, что множество М2n также счетно.