Лекция № 8 - 11

Если (а, b)  G, то говорят, что “b соответствует а при соответствии G ”.

Область определения соответствия G – множество

np₁ G = {а : (a, b)  G},

Область значений соответствия G - множество

пр₂ G = {b : (а, b)  G}

(рис. 3.1).

1

Всюду (полностью) опре­деленное соответствие

если np₁ G = А

Частично опреде­ленное соответствие

в про­тивном случае

2

Сюрьективное соответствие

Образом элемента а

в множество В при соответствии G

называется множество всех b  В, соответствующих элемен­ту а  А.

Прообразом элемента b

в множество А при соот­ветствии G

называется множество всех а Î А,

которым соот­ветствует b Î В.

Образом множества С  np₁ G

называется объединение об­разов

всех элементов а  С.

Прообразом множества D  пр₂ G называется объединение прообразов всех элементов b  D.

если пр₂ G = В

3

Функциональное (однозначное) соответствие

если об­разом любого элемента а из области определения пр₁ G

явля­ется единственный элемент b из области значений пр₂ G.

4

Взаимно однозначное соответствие, если оно:

а) всюду определено;

б) сюръективно;

в) функционально;

г) прообра­зом любого элемента b из области значений пр₂ G является единственный элемент а из области определения пр₁ G

Если между множествами А и В существует взаимно од­нозначное соответствие, то мощности этих множеств рав­ны

|A| = |В|

Говорят: если множества А и В равномощны, то можно

• установить равенство мощностей двух множеств,

не вычисляя эти множества;

• вычислить мощность множества,

установив его взаим­но однозначное соответствие с множеством, мощность ко­торого известна или легко вычисляется.

График соответствия G - круг радиуса 1 с центром в точке (3, 2). Таким обра­зом, круг G задает соответствие между R и R (осью абсцисс и осью ординат, рис. 3.2).

Рис.3.2

Определить, чему равны:

а.1) образы и прообразы чи­сел 2,

а.2) образы и прообразы чи­сел 3,

а.3) образы и прообразы чи­сел 4;

Решение а.1)

Найдем сначала образы чисел

Образом числа 2  пр₁ G (на оси абсцисс)

при соответствии G

является единственное число 2  np₂ G (на оси ор­динат).

Решение

а.2)

Образ числа 3 при соответствии G есть множество всех действительных чисел отрезка [1, 3]

Решение

а.2) образ числа 4

число 3

Решение а.1)

Прообразом числа

2  пр₂ G

(на оси ординат) при соответ­ствии G

будет множество всех действительных чисел отрез­ка [2, 4]  np₁ G (на оси абсцисс)

Решение а.2)

Прообразом числа 3 при соответствии G

число 3

Решение а.3)

Прообразом числа 4 при соответ­ствии G

не существует

б) образы и прообразы от­резков

[2, 3]

Решение б)

Образом множества чисел отрезка [2, 3] Í np₁G являет­ся объединение образов всех чисел отрезка, т.е. отрезок [1, 3]  np₂G

б) образы и прообразы от­резков

[2, 3].

Решение

Прообраз отрезка [2,3] при соответствии G - это отрезок [2, 4],

б) образы и прообразы от­резков

[2, 4].

Образом отрезка [2,4] будет отрезок

[1, 3] при соответствии G.

б) образы и прообразы от­резков

[2, 4].

Решение Прообраз отрезка [2, 4] будет отрезок [2,4].

Каковы свойства соответ­ствия G?

Решение

Если допустить, что соответствие G установлено на мно­жестве действительных чисел, т.е. G  R х R, то оно являет­ся:

• частично определенным, так как np₁ G  R (np ₁G  R);

• не сюръективным, поскольку np₂ G  R ( пр₂ G  R);

• не функциональным, ибо для любого числа отрезка [2, 4] = np₁ G (кроме чисел 2, 4) отсутствует единственность образа;

• не взаимно однозначным, так как отсутствуют необхо­димые условия: G не является всюду определенным на R, не сюръективно, не функционально и для любого числа отрезка [1,3] = пр₂ G (кроме чисел 1, 3) отсутствует един­ственность прообраза.

Если определить соответствие G  [2, 4] х [1, 3], то,

оно будет всюду определенным и сюръектив­ным,

однако останется не функциональным и не взаимно однозначным.

Пусть G - множество точек прямой линии, удовлетворяющей соотношению х-2= y => при y,x  0 (рис.3.3).

Каковы свойства соответ­ствия G?

Рис.3.3

Решение

1. Если соответствие G задано на множестве действи­тельных чисел, т.е. G  R х R, то G:

• частично определено, так как np₁ G = [2, )  R;

• не сюръективно, поскольку пр₂ G = R ₊  R, где R ₊ = [0, ) - множество всех положительных действительных чисел с нулем;

• функционально, ибо любому х из области определения соответствует единственный у из области значений, т.е. для соответствия G имеет место единственность образа для лю­бого х  np₁ G;

• не взаимно однозначно, так как не выполняются усло­вия - всюду определенности и сюръективности.

2. В случае, если соответствие G задано на множестве R ₊ с нулем,

т.е. G  R ₊ x R ₊, тогда соответствие G:

• частично определено, так как пр₁G = [2, ) и пр₁ G  R ₊;

• сюръективно, поскольку пр₂ G = R ₊ ;

• функционально;

• не взаимно однозначно, так как не выполняется усло­вие - всюду определенности.

3. При G  [2, ) х R ₊ соответствие G:

• всюду определено;

• сюръективно;

• функционально;

• взаимно однозначно, так как наряду с выполнением пе­речисленных выше условий имеет место также единствен­ность прообраза для любого у  пр₂ G.

Пример 3.

Англо-русский словарь устанавливает соответ­ствие между множествами английских и русских слов.

Ка­ковы свойства этого соответствия?

Решение

Данное соответствие не является:

• всюду определенным (всегда можно найти английское слово, не содержащееся в словаре);

• сюръективным (по отношению русских слов, имеющих­ся в словаре);

• функциональным (одному английскому слову ставится в соответствие, как правило, несколько русских);

• взаимно однозначным (в силу предыдущего).

Решение

b(U) ={, {а}, {b}, {с}, {а, b), {а, с}, {b, с}, {а, b, с}};

| b(U)| =8.

В₃= {(000), (001), (010), (011), (100), (101), (110), (111)};

|В₃ | =8

(для упрощения обозначений мы опустим запятые между компонентами векторов ).

Установим следующее соответствие G между множества­ми из b(U), и векторами из В₃:

• если в множестве из b(U), присутствует элемент а,

то в соответствующем ему векторе из В₃

первая компонента рав­на 1,

если отсутствует - то 0;

• если в множестве из b(U), присутствует элемент b,

то в соответствующем ему векторе из В3

вторая компонента рав­на 1,

если отсутствует - то 0;

• установим соответствие между элементом с в множестве из b(U), и значением третьей компоненты век­тора из В₃

Например, множеству {b} из b(U),

соответствует вектор (010) из В3, множеству {а, с} - вектор (101) и т.д.:

G:   (000), {а} ® (100), {b} ® (010), {с} ® (001), {а, b] ® (110), {а, с} ® (101), {b, с} ® (011), {а, b, с} ® (111).

ВЫВОД

Очевидно, что установленное таким образом соответствие G является взаимно однозначным, так как выполняются все условия для взаимно однозначного соответствия.

Решение

Соответствие G взаимно однозначно:

• всюду определено, так как np₁G = N;

• сюръективно, поскольку пр₂ G = М₂ⁿ

• функционально, так как любому n N соответствует единственный образ 2^n-1 Î М₂ⁿ;

• характеризуется единственностью прообраза,

ибо для любого 2^n-1 Î М₂ⁿ существует единственное п N.

Решение

Установим взаимно одно­значное соответствие между множествами М₂ⁿ и N. Если каж­дому натуральному n  N поставить в соответствие число 2^n-1 Î М₂ⁿ, соответствие G  N, очевидно, является взаимно однозначным

(удов­летворяет всем требованиям для взаимно однозначного со­ответствия, см. пример 5)

представляет множество всех векторов G = {(n, 2^n-1): n ÎN.

А так как мощность множе­ства N счетна, то из установленной взаимной однозначности между множествами N и М₂ⁿ согласно определению равно­мощности бесконечных множеств, следует, что множество М₂ⁿ также счетно.