Введение 3

Введение

Предлагаемый курс дискретной математики знакомит с современными средствами моделирования - универсальными мо­делями и методами формализованного описания (представления) систем, процессов, явлений. В процессе моделирования этот класс методов занимает одно из ключевых мест. Отметим два важных обстоятельства, касающихся моделирования как процесса.

• Процесс моделирования заключается в уточнении (форма­лизации) исследуемой ситуации, системы, процесса при исполь­зовании каких-либо средств фиксации (представления) имеющих­ся и выявленных знаний в виде модели как результата такой фор­мализации. Модель как описательное уточнение фиксирует то, что известно на данный момент и может быть использовано для решения проблемы. При этом к модели не судем предъявлять жестких требований обязательной представимости ее средства­ми классической (функциональной, вероятностной) математики. Такое представление не всегда необходимо и возможно, напри­мер, в силу сложности исследуемого объекта, различия целей исследования, степени “точности” имеющихся знаний и др.

• При исследовании сложных систем, происходящих в них процессов, сложных управленческих ситуаций и проблем, как правило, не удается сразу представить их в виде, пригодном для принятия решений. В таких случаях моделирование становится многошаговым процессом уточнения - постепенной формализа­ции¹ представлений об исследуемом объекте. Так, на начальных стадиях формализации моделью может являться вербальное (сло­весное) описание интересующего объекта. Естественный язык позволяет уточнить и описать мысленные представления. Дру­гие методы, включающие искусственные языки (такие, как тео- ретико-множественные, графические, логические представления) позволяют уточнить словесное описание и т.п. В этом смысле точные методы классической математики находятся на противо­положном “полюсе” по отношению к вербальному описанию. Они в наибольшей степени удовлетворяют требованиям однозначно­сти и компактности описания.

Однако модель - это не любое описание. К обязательным от­носятся требования

• прагматической значимости - модель должна фиксиро­вать имеющиеся знания, не обязательно все (это во многих случаях просто недостижимо), но существенные для реше­ния проблемы;

• конструктивности - модель должна представлять эти зна­ния в виде, удобном для использования в последующем про­цессе анализа и принятия решений, т.е. требование быть своего рода инструментом принятия решений.

В процессе моделирования используются разнообразные ме­тоды постепенной формализации, направленные на построение моделей, облегчающих решение проблемы. К ним относятся:

1. Методы извлечения знаний о данной предметной (проблем­ной) области. Такие знания могут быть отражены в различных печатных, визуальных и других источниках (книгах, отчетах, микрофильмах, рекламных проспектах, электронных носителях информации и пр.). Важными знаниями могут обладать специа­листы в данной предметной (проблемной) области. Это могут быть, например, знания о законах, закономерностях, теориях су­ществования, поведения, развития интересующего объекта ис­следования, накопленный опыт, интуитивные догадки и т.п. Про­блемы извлечения такого рода знаний специалистов, представ­ления их в виде словесных описаний (вербализация знаний) или иных моделей формализованного представления изучаются в та­ких сравнительно новых дисциплинах, как когнитология (наука о знаниях), когнитивная психология и др.

2. Методы системного анализа, способствующие переходу от реального объекта к модели и обеспечивающие эффективное ис­пользование имеющихся знаний об исследуемой предметной (проблемной) области, их пополнение, уточнение и приобрете­ние новых знаний и пр. Это методы конструктивного анализа проблемных ситуаций; методы, направленные на активизацию творчества, интуиции, использование опыта в решении проблем; методы, обеспечивающие конструктивное взаимодействие и вза­имопонимание между участниками, заинтересованными в реше­нии проблемы и др. Эта группа методов столь обширна и важна, что требует специального обсуждения, выходящего за рамки на­стоящей книги.

3. Методы формализованного представления имеющихся и выявляемых знаний об исследуемом объекте в виде модели. Как методы моделирования они включают не только средства (язык) символьного (знакового) описания для построения мо­дели, но и разработанный аппарат корректных преобразова­ний (операций над этими символами). Такие преобразования, допустимые в данном методе, позволяют получить новые зна­ния об объекте исследования или выявить направления, в ко­торых могут быть получены недостающие знания, дают воз­можность проводить последующий анализ и формализацию.

Разумеется, такое выделение групп методов достаточно услов­но, так как, например, методы извлечения знаний (методы пер­вой группы) должны включать элементы активизации интуиции и опыта, обеспечивать конструктивное взаимодействие и др. (т.е. содержать элементы методов второй группы); результатом извле­чения знаний (методы первой группы) должно быть их изложе­ние на некотором языке представления знаний (т.е. содержать эле­менты методов третьей группы) и т.д. Очевидна также связь ме­тодов второй и третьей групп. Однако в целом следует согласиться с тем, что выделенные три группы методов обеспечивают реше­ние разных задач в общем процессе моделирования.

При исследовании, анализе и решении управленческих проблем, моделирования объектов исследования и анализа широко исполь­зуются дискретные методы формализованного представления, яв­ляющиеся предметом рассмотрения в дискретной математике. К ним относятся методы, основанные на теоретико-множественных представлениях, графы, алгоритмы, формальные системы, мате­матическая логика, лингвистика и семиотика и др.

Дискретная математика предлагает:

• универсальные средства (языки) формализованного пред­ставления;

• способы корректной переработки информации, представ­ленной на этих языках;

• возможности и условия перехода с одного языка описания явлений на другой с сохранением содержательной ценнос­ти моделей.

Задачей курса и является знакомство и освоение основных моделей и методов формализованного представления: теорети- ко-множественных, логических, графических. Теория множеств, логика, теория графов являются фундаментом дискретной мате­матики. Теоретико-множественные, логические и графические представления, относящиеся к этим разделам дискретной мате­матики, и являются предметом рассмотрения в трех последую­щих разделах книги.