Оглавление

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1

1.Определение вероятности 1

Тестовые задачи 10

2. Формула полной вероятности 12

Тестовые задачи 17

3.Законы распределения случайных величин 17

Тестовые задачи 21

4.Числовые характеристики случайных величин 24

Тестовые задачи 27

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 28

Тестовые задачи 32

Теория вероятностей

1.Определение вероятности

Определение. Если результаты испытаний можно представить в виде полной группы n равновозможных попарно несовместных исходов и если случайное событий A появляется только в m исходах, то вероятность события A определяется как отношение числа исходов благоприятствующих наступлению события A, к общему числу n равновозможных исходов

P (A) = m/n.

Пример 2.1. В фирме 16 человек имеют высшее образование, 3 человека – незаконченное высшее, 9 человек – среднее специальное образование, 8 человек – среднее. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный сотрудник имеет незаконченное высшее образование.

Решение. По правилу сложения сотрудник может быть выбран 16 + 3 + 9 + 8 = 36 способами, т.е. общее число возможных исходов равно 36. Число благоприятствующих исходов равно количеству человек с незаконченным высшим образованием. Исходы равновозможные, несовместные и образуют полную группу, поэтому

Р = = = ≈ 0,08.

Пример 2.2. Для участия в студенческой научной конференции 7 студентам предложили выбрать любую из 10 тем по высшей математике. Чему равна вероятность, того что случайно выбранному студенту достанется тема под четным номером.

Решение. Первый студент может выбрать любую из 10 тем, второй студент может выбрать любую из оставшихся 8 тем, третий студент может выбрать любую из оставшихся 7 тем и т.д. По правилу умножения общее число возможных вариантов выбора тем студентами равно 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 40320, т.е. n = 40320. Так как произвольно выбранному студенту может достаться любая из тем 2, 4, 6, 8, 10, то число благоприятствующих исходов равно 5, т.е. m = 5, тогда та как исходы равновозможные, несовместные и образуют полную группу

Р = = ≈ 0,00012.

Пример 2.5. У 15 школьников из 20 сотовый телефон фирмы Nokia. Найти вероятность того, что у произвольно выбранного школьника телефон фирмы Nokia.

Решение. Так как школьник выбирается произвольно, то исходы – выбран произвольный школьник из 20 – равновозможные, несовместные и образуют полную группу событий. Тогда, очевидно, что m = 15, n = 20

Р = = .

Пример 2.6. В условиях примера 2.3 найти вероятность того, что 3 произвольно выбранных школьника являются обладателями телефонов Nokia.

Решение. В этом случае число благоприятных исходов равно количеству подмножеств по 3 элемента из 15, т.е. m = = = 455. Число всевозможных исходов равно количеству подмножеств по 3 элемента из 20, т.е.

n = = = = 1140, следовательно,

Р = = = ≈ 0,4.

Пример 2.7. Еще более усложним условие задачи 2.3, предположив, что необходимо найти вероятность того, что 3 школьника из случайно выбранных 5 являются обладателями телефонов Nokia.

Решение. Легко видеть, что n = . Так как у троих школьников из 5 должны быть телефоны фирмы Nokia, а у двоих – телефоны не фирмы Nokia, то m = тогда

Р = .

Пример 2.8. Расписание студентов математического факультета в понедельник должно состоять из 3 пар. Занятия могут быть проведены по любым из 12 дисциплин и не должно быть пар по одной дисциплине. Определить вероятность того, что расписание будет иметь вид:

1-я пара – «Теория вероятностей и математическая статистика»;

2-я пара – «Математический анализ»;

3-я пара – «Иностранный язык».

Решение. Так как при составлении расписания учитывается как состав дисциплин, так и их порядок, возможные расписания являются размещениями из 18 по 3. Поэтому общее число возможных расписаний равно

n = = = 12·11·10 = 1320.

Общее число благоприятных исходов m = 1.Так как все исходы – равновозможные, несовместные и образуют полную группу, то

Р = = ≈ 0,00075

Пример 2.9. Код кредитной банковской карты состоит из 7 символов, первые 2 символа – буквенные, остальные цифровые. Последние 3 цифры были забыты пользователем. Какова вероятность того, что выбранные случайным образом цифры восстановят код, если все забытые цифры различные?

Решение. Общее число возможных комбинаций соответствует размещениям из 10 цифр по 3, т.е.

720.

Число благоприятных исходов m = 1. Так как все исходы – равновозможные, несовместные и образуют полную группу

Р = = ≈ 0,0014.

Формула Бернулли

Пусть производится последовательность независимых испытаний, в каждом из которых может произойти отдельное событие A – успех или может наступить противоположное событие – неудача. Условимся считать, что вероятность события А в каждом испытании одинакова. Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли.

Предположим, вероятность наступления события А равна р. Тогда вероятность q того, что событие не наступит для всех испытаний также одинакова и q = 1 – p.

Для нахождения вероятности того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно m раз и, следовательно, не осуществится n – m раз, следует воспользоваться формулой Бернулли

.

Пример 4.1. Монета подбрасывается 5 раз. Определить вероятность, что: а) герб появится три раза, б) менее трех раз, в) более двух раз.

Решение. Считая вероятности выпадения герба во всех пяти испытаниях постоянной и равной 1/2, имеем р = 1/2, q = 1/2, n = 5. Заметим, что условие менее трех 3 раз это событие, что герб появится или 0 раз, или 1, или 2 раза. Условие более двух раз это событие, что герб появится 3, или 4, или 5 раз, причем эти события являются противоположными событиями.

а) Р₅(m = 3) = ·( ³·( ² = 0,3125

б) Р₅(m < 3) = Р₅(0) + Р₅(1) + Р₅(2) = ( ⁵ + ·( ·( ⁴ + ·( ²·( ³ = + + = = 0,5

в) Р₅(m ≥ 2) = 1– Р₅(m < 3) = 1– 0,5 = 0,5

Пример 4.3. Вероятность сразу найти необходимую информацию на поисковой системе Яндекс, равна 0,9. К поисковой системе обращаются 10 раз. Найти вероятность того, что информация сразу получена ровно 7 раз.

Решение. Считая вероятность получения необходимой информации на Яндекс одинаковой во всех 10 попытках, причем результаты поиска не зависят друг от друга, имеем схему испытаний Бернулли с параметрами р = 0,9, q = 0,1, n = 10, m = 7. Тогда по формуле Бернулли

Пример 4.4. Через 10 лет после окончания школы, школьные друзья решили организовать встречу одноклассников. Вероятность найти одноклассника в социальных сетях составляет 0,1. Сделано 5 попыток. Найти вероятности следующих событий: ровно две попытки оказались удачными, т.е. два одноклассника найдены; большая часть попыток удачны; найдены хотя бы два одноклассника.

Решение. Считая результаты поиска одноклассников независимыми событиями и вероятность найти одноклассника одинаковой во всех пяти попытках, применим формулу Бернулли при р = 0,1, q = 0,9, n = 5.

Условие, что два одноклассника найдены, означает, что m = 2

Условие, что найдена большая часть одноклассников, означает, что m = 3, 4 или 5

Условие, что найдены хотя бы два одноклассника, означает, что m больше, либо равно 2, т.е. m = 2, 3, 4 или 5. Но это событие является противоположным событию, что найден 0, или 1 одноклассник. Поэтому

Формула Пуассона

В некоторых случаях число испытаний в схеме Бернулли может достигать несколько сотен или тысяч. При этом становится проблематичным вычисление вероятности по формуле Бернулли. Например, если бы при подбрасывании трех костей интересовала вероятность выпадения 50 раз одновременно трех шестерок при 1000 подбрасываниях, формула Бернулли имела бы вид:

⁵⁰( ⁹⁵⁰ = ⁵⁰( ⁹⁵⁰.

Очевидно, что вычисление значения для данного выражения было бы весьма затруднительным из-за больших факториалов и показателей степеней. Поэтому при больших n и малых р следует применять формулу Пуассона

Р_n(m) ≈ где λ = np.

Нахождение вероятности выпадения трех шестерок 20 раз при 1000 подбрасываниях по формуле Пуассона сведется к несложному вычислению значения экспоненты

Формула Пуассона, как правило, ис­пользуется, когда мы имеем дело с малым числом событий, появляющихся в промежутке времени или про­странства. Например: число машин, прибывших на заправку в течение часа; число заболевших редким заболеванием в регионе, количество произведенных бракованных изделий на предприятии в течение суток, количество дорожных происшествий в городе в течение дня и т.д. При этом параметр λ означает среднее количество произошедших событий в условную единицу времени.

Пример 4.6. Предположим, во время крупнейшей пандемии чумы, известной под названием «Черная смерть» в некотором регионе выздороветь удалось лишь 0,3% населения. Необходимо найти вероятность того, что из каждых 500 заболевших выжить удалось не более, чем 0,01 части.

Решение. Так как р = 0,003 мало, а n = 500 велико, то можем воспользоваться формулой Пуассона. Событие, что выздороветь удалось не более чем 0,01 части из 500, означает, что выздороветь удалось не более чем пяти заболевшим. Поэтому это событие можно представить, как сумму событий – выздороветь удалось 0, 1, 2, 3, 4, 5 заболевшим, т.е. m = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Обозначив через Р искомую вероятность, по правилу сложения несовместных событий имеем:

Р = Р₅₀₀(0) + Р₅₀₀(1) + Р₅₀₀(2) + Р₅₀₀(3) + Р₅₀₀(4) + Р₅₀₀(5).

Так как n = 500, а p = 0,003, то  = 500·0,003 = 1,5. В соответствии с формулой Пуассона имеем:

.

.

.

.

.

.

Р = Р₅₀₀(0) + Р₅₀₀(1) + Р₅₀₀(2) + Р₅₀₀(3) + Р₅₀₀(4) + Р₅₀₀(5) = 0,9955.

Таким образом, вероятность того, что из каждых 500 заболевших выжить удалось не более, чем 0,01 части, равна 0,9955.

Пример 4.7. В среднем в течение пяти минут по телефону поступает 3 заказа на доставку пиццы. Какова вероятность, того, что будет от 0 до 4 и более 4 заказов в течение пяти минут?

Решение. Воспользуемся формулой Пуассона. Так как среднее число заказов в течение 5 минут равно 3, то λ полагаем равным 3, а условная единица времени равна 5 мин. Тогда применим формулу Пуассона при m = 0, 1, 2, 3, 4.

;

;

;

;

;

P(m ≤ 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 0,0498 + 0,1498 + 0,2240 +

+ 0,2240 + 0,1680 = 0,8152

Геометрическое распределение. Случайная величина X имеет геометрическое распределение, если

P(Х = m) = P_m= q^m-1p, m = 1 …

где q = 1– p, p(0, 1).

Геометрическое распределение имеет случайная величина X, равная числу испытаний по схеме Бернулли до первого наступления успеха с вероятностью успеха в единичном испытании р.

Пример 5.4. Баскетболист бросает мяч в корзину до первого попадания и делает не более 5 бросков. Составить закон распределения количества попыток, если вероятность попадания в корзину равна 0,6.

Решение. Очевидно, что испытания проводятся до наступления успеха, который означает, что мяч попал в корзину. Поэтому следует воспользоваться геометрическим распределением:

P(Х = 1) = P₁= 0,6;

P(Х = 2) = P₂= 0,4¹0,6 = 0,24;

P(Х = 3) = P₃= 0,4²0,6 = 0,096;

P(Х = 4) = P₄= 0,4³0,6 = 0,0384;

P(Х = 5) = P₅= 0,4⁴0,6 + 0,4⁵ = 0,4⁴.

Обратите внимание, что при Х = 5, т.е. при последнем пятом броске мяч может как попасть, так и не попасть в корзину. Поэтому вероятность представлена как сумма двух вероятностей.

Следовательно, ряд распределения имеет вид

m	1	2	3	4	5
Pm	0,6	0,24	0,096	0,0384	0,0256

Сумма вероятностей равна 0,6 + 0,24 + 0,096 + 0,0384 + 0,0256 = 1