1.3 Постановка задачі

Метою даної роботи є розробка програм для розв’язання алгебраїчних рівнянь двома методами, а саме, методами простих ітерацій та Ньютона. Програма створюється для рівнянь, які вирішуються чисельним методом і перевірка яких може здійснюватися аналітично.

Дані програми повинні виводити результат знайдених коренів, при введені користувачем х та точності розрахунку.

Для перевірки результатів аналітичним способом використаємо Mathcad, ця програма побудує графік для нашого рівняння.

Для написання програм скористаємося мовою програмування С++.

При дослідженні програм використаємо рівняння

F(x) =2sin (3x) – x,

за допомогою якого порівняємо дані методи і на основі цього зробимо певні висновки.

2. РОЗВ’ЯЗКИ МЕТОДІВ ПРОСТИХ ІТЕРАЦІЙ ТА НЬЮТОНА

На основі літературних відомостей розглянемо детальніше задані методи.

2.1 Рішення нелінійного рівняння методом простих ітерацій

Метод простої ітерації застосовують для розв’язання задач про нерухому точку.

Для застосування цього методу рівняння f(x) = 0 представляється у вигляді

(2.1.1)

Виберемо за початкове наближення кореня значення і підставимо в праву частину рівняння (2.1.1). Одержимо деяке число

(2.1.2)

Підставляючи в праву частину рівності (2.1.2) замість х₀ значення х₁ одержимо нове число

Повторний процес буде мати наступну послідовність

.

Якщо ця послідовнясть збіжна, то границя цієї послідовності – корінь рівняння f(x) = 0 і може бути обчислений з будь-якою точністю.

Геометрично метод ітерації можна пояснити наступним чином. Побудуємо на площині хоу графіки функцій у = х і . Відштовхуючись від деякої точки будуємо ламану лінію А₀В₁А₁В₂… («сходинки»), вершини яких обов’язково паралельні осі х і у , вершини А₀А₁А₂ лежать на кривій , а вершини В₁В₂…– на прямій у = х.

Y y = x B1 A0 y = φ(x) φ(x0) φ(x1) B2 A1 φ(x2) A2 x x* x2 x1 x0

Рис.2.1 Абсциси точок А₁А₂; В₁В₂… – преставляють собою відповідно послідовне наближення кореня х*.

Теорема. Про збіжність методу ітерації.

Якщо для всіх виконується нерівність

то на проміжку [a, b] рівняння має єдиний корінь і процес ітерації збігається до цього кореня незалежно від вибору початкового наближення .

Приклад.

Методом ітерації знайти додатній корінь рівняння

х³ – 5х + 1 = 0

на відрізку [0; 0,5], ще два корені на відрізку [–3; –2], [2, 3].

Корінь знаходиться на відрізку [0; 0,5].

Дане рівняння зведемо до вигляду

процес ітерацій збіжний.

Візьмемо за перше наближення х₀ = 0,25 – середину відрізка [0; 0,5]. Обчислення будемо вести за формулою

.

Результати розв’язку наведені в таблиці 2.1.

Таблиця 2.1

n	xn	xn+1
0	0,25	0 x* =0,20164 ,20313
1	0,20313	0,20168
2	0,20168	0,20164
3	0,20164	0,20164

При знаходженні двох інших коренів методом ітерацій вже не можна скористатись формулою

,

оскільки

В цьому випадку рівняння потрібно представити у вигляді, наприклад, Тоді на відрізках [–3; –2], [2, 3] умова буде виконуватись.

Таким чином при практичному знаходженні кореня за методом ітерації при переході від рівняння f(x) = 0 до (2.1.1) необхідно зобразити так, щоб похідна за абсолютною величиною була якомога менша одиниці.

Для зведення рівняння f(x) = 0 до вигляду (2.1.1) може бути застосований загальний метод, котрий забезпечує виконання нерівності (2.1.3).

Нехай

(2.1.4)

при , де m₁ – найменше значення похідної , ;

М₁ – найбільше значення похідної на відрізку [a, b],

Якщо похідна – від’ємна, то замість рівняння f(x) = 0 розглянемо рівняння – f(x) = 0.

Замінимо це рівняння f(x) = 0 еквівалентним йому рівнянням і виберемо сталу λ так, щоб забезпечити виконання умови (2.1.3)

.

1)

Розкриваємо нерівність

Візьмемо праву нерівність , з неї випливає, що тобто оскільки

З лівої нерівності випливає, що

Отже, значення коефіцієнта λ знаходиться в межах < <0 як правило за λ приймають значення де М₁ – максимальне значення похідної на проміжку [a, b].

Відповідно, ітераційна формула буде мати вигляд

2) Якщо то можна довести, що

.

(2.1.5)

І відповідний ітераційний процес має вигляд

(2.1.6)

Ітераційний процес полягає в послідовному уточненні початкового наближення. Кожен такий процес називається ітерацією. У результаті отримують послідовність x₀, x₁, ..., х_n. Якщо ці значення із зростанням n наближаються до істинного значення, то ітераційний процес сходиться.