1.6 Эпизод 6: формула Герона

Для того чтобы рассчитать площадь треугольника существует пять формул, но они не исчерпывают все формулы, с помощью которых можно эту площадь находить. Любые три элемента, задающие треугольник, задают и его площадь, а значит, и соответствующую формулу. Правда, большинство подобных формул не представляет ни практического, ни теоретического интереса.

Но на одной формуле, выражающей площадь треугольника через его стороны, нельзя не остановиться. Во-первых, это наиболее естественный и удобный способ задания треугольника (по трем его сторонам). И потому формула интересна как в практическом, так и теоретическом отношении.

Во-вторых, несмотря на то что эта формула достаточно длинная, она является одной из самых красивых и древних формул геометрии. Речь идет о формуле Герона, названной так по имени Герона Александрийского    выдающегося древнегреческого математика, жившего в I в. н. э.

Существует множество способов доказательства этой формулы,

____________

S = √p(p-a)(p-b)(p-c)

где p — полупериметр треугольника: 

p = a + b + c

2

вот одна из них

Существует множество способов доказательства этой формулы, вот одна из них.

Это доказательство относится к геометрии потому, что ближе к методам, которые использовали древние геометры. Нам понадобится понятие вневписанной окружности.

Оказывается, кроме формулы S = pr для площади треугольника справедлива и формула

S = (p - a)r_a

где r_a    радиус вневписанной окружности, касающейся стороны BC треугольника.

Докажем эту формулу:

Пусть J_a    центр вневписанной окружности, касающейся BC. В каждом из треугольников ABJ_a , BCJ_a , CAJ_a высота, опущенная из J_a , равна r_a.

Имеем:

S = S_ABC = S _ABJa + S_ABJa - S_BCJa = 1cr_a + 1br_a - 1ar_a = a + b + c . r_а = (p - a)r_a

2 2 2 2

Теперь выведем еще одну формулу, связывающую r  и  r _a .

Пусть J    центр вписанной окружности; M    точка касания вписанной окружности с AC, K    точка касания рассматриваемой вневписанной окружности с продолжением AC (см. рис.). Отрезки CM и CK мы уже находили: CM = p - c, CK = p - b.

Напомним, как можно найти CK. Имеем: CK + BL = BC = a. Значит, AK + AL = AC + AB + BC = 2p. Но AK = AL, следовательно, AK = p и CK = AK - AC = p - b. Рассмотрим два прямоугольных треугольника CJM и CJ_aK. В первом из них угол при вершине C равен С/2 , так как CJ    биссектриса угла C, а угол при вершине J равен 90-C/2 . В треугольнике CJ_a K угол при вершине C равен половине угла KCB, т. е. 

1 (180 - C ) = 90 - C 2 2 

Таким образом, прямоугольные треугольники CJM и J _a CK подобны, поскольку у них углы при вершинах J и C соответственно равны. Из подобия получаем

CM = KJ_a или p – c = r_a , rr_a = (p - b)(p – c) MJ CK r p - b

Запишем следующие три равенства:

S = pr , S = (p - a)r_a , rr_a = (p - b)(p – c)

Перемножим два первых равенства и заменим r · ra его значением:

S² = p (p - a)rr_a = p(p-a)(p-b)(p-c)

Чтобы избавиться от квадрата вводит выражение под корень и получаем формулу герона.

Вывод

Треугольник – самая простая, но самая известная фигура в геометрии. Большинство теорем связанны с доказательством, каких либо элементов в этой фигуре: угол, сторона, площадь, периметр и т.д.

Любая тема геометрии связанна с треугольником. В данных главах мы убедились в том, что наши познания о треугольники в школьном курсе очень незначительны, и при этом представленные в главах теоремы это лишь малая часть всех теорем об этой удивительной фигуре.

Подобранные теоремы не изучаются в школе, или изучаются, но не подробно. Используя их можно быстро, рационально решить задачу как школьного, так и олимпиадного типа. В дальнейших главах мы рассмотрим несколько олимпиадных задач и решим их с помощью этих теорем, свойств точек и прямых.