- •Глава 1. «Понятие о треугольнике. Эпизоды: теорема Менелая, теорема Чевы, теорема Паскаля, теорема Герона, площадь сечения»
- •Треугольник – замечательная простейшая фигура
- •Эпизод 1: теорема Чевы и её обобщение. Точка Жергона.
- •1.2 Эпизод 2: теорема Менелая
- •1.3 Эпизод 3: Замечательные точки
- •1.Точки Аполлония :
- •2.Точка Жергонна и Нагеля :
- •3.Инцентр:
- •4.Точка Лемуана :
- •5. Точка пересечения симедиан :
- •6.Ортоцентр :
- •7. Точка Понселе:
- •8. Точка Ферма и точка Торричелли:
- •9. Центроид:
- •10. Окружность девяти точек:
- •11. Изогональные точки:
- •1.4 Эпизод 4: Теорема Лейбница
- •1.5 Эпизод 5: Замечательные прямые треугольника.
- •1. Прямая Эйлера:
- •2. Прямая Симсона или Уллеса:
- •1.6 Эпизод 6: формула Герона
1.4 Эпизод 4: Теорема Лейбница
Эта теорема связанна центроидом.
Теорема Лейбница: Если O – точка пересечения медиан ABC, P – произвольная точка плоскости, то выполняется равенство:
PO2 = PA2 + PB2 + PC2 – 3АВ2 + ВС2 + АС2
Доказательство:
Возведем векторное равенство
→ → PA = PO + OA
в квадрат PA2 = PO2 + 2PO•OA + OA2.
Аналогично получаются равенства:
PB2 = PO2 + 2PO•OB + OB2,
PC2 = PO2 + 2PO•OC + OC2.
Складывая эти три равенства, получаем
PA2 + PB2 + PC2 = 3PO2 + 2PO•(OA+OB+OC) + OA2 + OB2 + OC2 = 3PO2 + OA2 + OB2 + OC2,
так как сумма векторов в скобках равна нулю. Отсюда
PO2 = PA2 + PB2 + PC2 – OA2 – OB2 – OC2 3
Так как OA2 + OB2 + OC2 = 4(ma2 + mb2 + mc2) = a2 + b2 + c2 9 3
то отсюда следует доказываемая формула.
Каждое число m выводится по формуле:
ma2 = 2b2 + 2c2 - a2 4
mb2 = 2 a2+ 2c2 - b2 4
mb2 = 2 a2+ 2 b2 - c2 4
1.5 Эпизод 5: Замечательные прямые треугольника.
1. Прямая Эйлера:
Леонард Эйлер сделал ряд замечательных открытий в геометрии треугольника. Например, он доказал, что центроид M любого треугольника лежит на отрезке между центром О его описанной окружности и ортоцентром Н и делит этот отрезок в отношении OM : MH = 1:2. Прямая ОН называется прямой Эйлера данного треугольника.
Эта прямая обладает некоторыми свойствами:
Прямая Эйлера проходит через:
Центроид треугольника
Ортоцентр треугольника
Точку пересечения серединных перпендикуляров
Центр окружности девяти точек
2. Прямая Симсона или Уллеса:
Открытие этой прямой долго приписывалось Роберту Симсону (1687—1768), но в действительности она была открыта лишь в 1797 году Уильямом Уоллесом. Поэтому наряду с традиционным названием этой прямой часто используется исторически более справедливое название прямая Уоллеса.
Прямая Симсона — прямая, связанная с треугольником. Её существование опирается на теорему Симсона:
Основания перпендикуляров, опущенных из точки описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой.
Доказательство: Пусть точка P лежит на дуге AC описанной окружности треугольника ABC; A1,B1 и C1- основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC,CA и AB.
Сумма углов при вершинах A1 и C1 четырехугольника A1BC1P равна 180°, поэтому РA1PC1 = 180° – РB = РAPC. Следовательно, РAPC1 = РA1PC, причем одна из точек A1 и C1 (например, A1) лежит на стороне треугольника, а другая- на продолжении стороны. Четырехугольники AB1PC1 и A1B1PC вписанные, поэтому РAB1C1 = РAPC1 = РA1PC = РA1B1C, а значит, точка B1 лежит на отрезке A1C1. получаем Р(AP,PC1) = Р(AB1,B1C) = Р(CB1,B1A1) = Р(CP,PA1). Прибавляя Р(PC1,PC), получаем Р(AP,PC) = Р(PC1,PA1) = Р(BC1,BA1) = Р(AB,PC), т. е. точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC.