10. Окружность девяти точек:

Окружность девяти точек — это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника. Она также называется окружностью Эйлера, окружностью Фейербаха, окружностью шести точек.

Окружность девяти точек получила такое название из-за следующей теоремы:

Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC , H – точка пересечения высот треугольника; точки A₁, B₁, C₁ обозначают основания высот; A₂, B₂, C₂ – середины соответствующих сторон; A₃,B₃, C₃ – середины отрезков AA₁, BB₁ и CC₁. Тогда точки A₁, B₁, C₁, A₂,B₂, C₂, A₃, B₃, C₃  лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек или окружностью Эйлера.

Действительно, A₃B₂ – средняя линия треугольника AHC и, следовательно, A₃B₂ || CC₁. B₂A₂ – средняя линия треугольника ABC и, следовательно, B₂A₂ || AB. Так как CC₁  AB, то  A₃B₂A₂ = 90. Аналогично,  A₃C₂A₂ = 90. Поэтому точки A₂, B₂, C₂, A₃  лежат на одной окружности с диаметром A₂A₃. Так как AA₁  BC, то точка A₁также принадлежит этой окружности.

Таким образом, точки A₁ и A₃лежат на окружности, описанной около треугольника A₂B₂C₂. Аналогичным образом показывается, что точки B₁ и B₃, C₁ и C₃ лежат на этой окружности. Значит, все девять точек лежат на одной окружности. Эти точки имеют свойства:

• Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.

• Радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной окружности. Более того, описанная окружность есть образ окружности девяти точек относительно гомотетии с центром в ортоцентре и коэффициентом 2.  

• (Теорема Фейербаха) Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.

• Эйлер в 1765 году доказал, что основания высот и середины сторон лежат на одной окружности (отсюда название «окружность шести точек»). Первое полное доказательство общего результата было, по-видимому, опубликовано Карлом Фейербахом в 1821 году (вместе с теоремой, носящей его имя), но есть указания на то, что оно было известно и ранее.

11. Изогональные точки:

Есть и другая интересная взаимосвязь между ортоцентром и центром описанной окружности треугольника. Можно показать, что

Прямые, симметричные высотам относительно соответствующих биссектрис , проходят через центр вписанной окружности,

Т.е содержат её радиусы. Справедлива и более общая теорема:

Если три прямые, проведенные из вершин треугольника, пересекаются в одной точке, то и прямые, симметричные им относительно соответствующих биссектрис , тоже проходят через одну и ту же точку.

Подобные две точки называются изогональными. Таким образом, ортоцентр треугольника изогонален центру описанной окружности.

Отразив относительно биссектрис треугольника соответствующие медианы, получают новые замечательные линии - симедианы. Так образовалась точка Лемуана – L. Она является центройдом А₁В₁С₁, образованного её проекциями на стороны исходного треугольника.