7. Точка Понселе:

Эта точка имеет следующую теорему :

Для любой четверки точек  А, В, С, D, отличной от ортоцентрической, окружности девяти точек треугольников АВС, BCD, ABD, ACD пересекаются в одной точке, которую и называют точкой Понселе.

Свойства этой точки:

• Если Н — ортоцентр треугольника АВС, то точки Понселе для четверок точек АВСD, ABHC, AHCD, HBCD совпадают.

• Точка Понселе четверки точек ABCD лежит на педальной окружности точки D относительно треугольника ABC, то есть на описанной окружности подерного треугольника точки D относительно треугольника ABC.

• Точка Понселе четверки точек ABCD является центром равнобокой гиперболы, проходящей через точки A, В, С, D.

• Точка Понселе четверки точек ABCD лежит на чевианной окружности точки D относительно треугольника ABC, то есть на окружности, содержащей основания чевиан треугольника ABC, проходящих через точку D.

• Точка Понселе четверки ABCD является серединой отрезка, соединяющего точки D и D`, где D` - образ точки D при антигональном сопряжении относительно треугольника ABC

• Точки Понселе четверок ABCD и ABCD` совпадают.

8. Точка Ферма и точка Торричелли:

Точка Ферма — точка плоскости, сумма расстояний от которой до вершин треугольника является минимальной. Точка Ферма даёт решение проблемы Штейнера для вершин треугольника.

Теорема (Э. Торр ичелли, Б. Кавальери, Т. Симпсон, Ф. Хейнен, Ж. Бертран). Построим на сторонах произвольного треугольника ABC вне его равносторонние треугольники ABC', BCA', CAB'. Тогда шесть кривых — три окружности, описанные вокруг этих правильных треугольников, и прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке X. Если все углы треугольника ABC не превосходят 120°, то X лежит в треугольнике ABC и является точкой Ферма S. В этом случае углы между отрезками AS, BS и CS равны между собой и, значит, равны 120°. Более того, длины отрезков AA', BB' и CC', называемых линиями Симпсона, тоже равны между собой и равны AS + BS + CS. Если один из углов треугольника ABC больше 120°, то X лежит вне треугольника ABC, а точка Ферма S совпадает с вершиной тупого угла.

Теорема дает алгоритм построения точки Ферма с помощью циркуля и линейки. В нетривиальном случае, когда все углы треугольника меньше 120°, точку Ферма находят как пересечение любых двух из шести кривых, описанных в теореме.

Физически эту точку можно построить так: отметим на плоской гладкой горизонтальной поверхности точки A, B и C и просверлим в отмеченных местах сквозные отверстия; свяжем три нити и пропустим сверху их свободные концы через отверстия; привяжем к свободным концам грузики одинаковой массы; когда система придет в равновесие, узел окажется в точке Ферма для треугольника ABC.

Точка Торричелли — точка треугольника, из которой все сторонывидны под углом в 120°. Существует только в треугольниках с углами меньшими 120°, при этом, она единственна и, значит, совпадает с точкой Ферма.

9. Центроид:

Центроид — точка пересечения медиан в треугольнике. Центроид традиционно обозначается латинской буквой М.

• Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

• Центроид лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1.

• Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой массой также находится в центроиде.

В частности, если М — центроид треугольника АВС то для любой точки O верно, что

• → → → → ОМ = 1/3 (ОА + ОВ + ОС)

• точка пересечения медиан является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника имеет наименьшее значение (теорема Лейбница).