2.Точка Жергонна и Нагеля :

Можно доказать, что три отрезка соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная в него окружность касается соответственно противоположных вершинам сторон, пересекаются в оной точке j. Она называется точкой Жергонна.

Отрезки, соединяющие каждую из вершин треугольника с точкой, в которой противоположная сторона касается соответствующей вневписанной окружности , тоже пересекаются в одной точке N – точке Нагеля. Она интересна тем, что отрезок NI, где I – центр вписанной окружности, проходит через центроид М треугольника и делится им в отношении NM : MI = 2:1

3.Инцентр:

Инцентр — точка пересечения биссектрис треугольника. Также инцентр является центром вписанной в треугольник окружности.

Традиционно обозначается латинской буквой I.

Свойства Инцентра:

• Инцентр находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника.

• Инцентр делит биссектрису угла А в отношении (а+b):с , где a,b,c — стороны треугольника.

• Теорема трилистника (или лемма о трезубце). Если продолжение биссектрисы угла А пересекает описанную окружность треугольника АBC в точке W, то выполняется равенство: WB = WC = WI = WD , где D — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC.

• Формула Эйлера. Расстояние между инцентром I и центром описанной окружности O выражается: OI² = R² – 2Rr , где R и r - радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.

4.Точка Лемуана :

Впервые точку Лемуана обнаружил швейцарский геометр и тополог Симон Антуан Жан Люилье. Этой точке было посвящено исследование Эрнста Вильгельма Гребе, в честь которого в Германии она называлась точкой Гребе. Точка названа в честь французского геометра Эмиля Лемуана, опубликовавшего доказательство существования точки. У точки Лемуана существует два равносильных определения:

точка пересечения прямых, соединяющих каждую вершину треугольника с точками пересечения касательных к описанной окружности, проведённых из двух других вершин.

5. Точка пересечения симедиан :

Утверждение о равносильности этих определений называется теоремой о симедиане.

Симедиана — чевиана треугольника, луч которой симметричен лучу медианы относительно биссектрисы угла, проведенной из той же вершины. Она обладает некоторыми свойствами, которые связанны с точкой Лемуана:

• Отрезки, на которые симедиана делит противоположную сторону, пропорциональны квадратам прилежащих сторон.

• Симедианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется точкой Лемуана и обозначается K или L.

• Точка Лемуана изогонально сопряжена центроиду.

• Сумма квадратов расстояний от точки на плоскости до сторон треугольника минимальна, когда эта точка является точкой Лемуана.

• Расстояния от точки Лемуана до сторон треугольника пропорциональны длинам сторон.

• точка Лемуана — единственная точка, которая является центроидом своего педального треугольника.

6.Ортоцентр :

Прямые, содержащие высоты треугольника, всегда пересекаются в одной точке, называемой его ортоцентром. В остроугольном треугольнике ортоцетр лежит внутри треугольника, в прямоугольном – совпадает с вершиной прямого угла, а в тупоугольном на пересечении продолжений высот.

Если H – ортоцентр треугольника АВС, то любая из четырёх А, В, С и Н является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими точками.

Докажем, что ортоцентр треугольника существует. Треугольник АВС – это серединный треугольник А₁В₁С₁; значит, высоты первого треугольника являются серединными перпендикулярами второго. Следовательно, они пересекаются в центре Н описанной около второго треугольника окружности, и этот центр совпадает с ортоцентром треугольника АВС.

Рисунок помогает вывести теорему о высотах из теоремы о биссектрисах.

Поскольку биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны, на рисунке любой из центров четырёх окружностей (вписанной и вневписанной) является ортоцентром треугольника с вершинами в трех других центрах , а точки А, В, С служат основаниями его высот. Можно как бы «перевернуть» это наблюдение и доказать, что высоты произвольного треугольника – биссектрисы ортотреугольника, т.е. треугольника, образованного основаниями высот. Отсюда следует, что они имеют общую точку.