- •Глава 1. «Понятие о треугольнике. Эпизоды: теорема Менелая, теорема Чевы, теорема Паскаля, теорема Герона, площадь сечения»
- •Треугольник – замечательная простейшая фигура
- •Эпизод 1: теорема Чевы и её обобщение. Точка Жергона.
- •1.2 Эпизод 2: теорема Менелая
- •1.3 Эпизод 3: Замечательные точки
- •1.Точки Аполлония :
- •2.Точка Жергонна и Нагеля :
- •3.Инцентр:
- •4.Точка Лемуана :
- •5. Точка пересечения симедиан :
- •6.Ортоцентр :
- •7. Точка Понселе:
- •8. Точка Ферма и точка Торричелли:
- •9. Центроид:
- •10. Окружность девяти точек:
- •11. Изогональные точки:
- •1.4 Эпизод 4: Теорема Лейбница
- •1.5 Эпизод 5: Замечательные прямые треугольника.
- •1. Прямая Эйлера:
- •2. Прямая Симсона или Уллеса:
- •1.6 Эпизод 6: формула Герона
1.2 Эпизод 2: теорема Менелая
Каждый может доказать, что, например, биссектрисы треугольника, пересекаются в одной точке, и высоты – тоже, и медианы. Но доказать это не так уж просто. Но если знать теорему Менелая, то можно легко доказать это утверждение.
Менелай Александрийский (I – II вв. н. э.) – греческий математик и астроном, один из создателей сферической тригонометрии. В этой теореме отношения отрезков тоже понимаются со знаком.
Теорема Менелая: Если стороны ВС, СА и АВ треугольника АВС или их продолжения пересекают некоторой прямой в точках А1, В1, и С1 соответственно, то выполняется соотношение:
ВА1 . СВ1 . АС1 = -1
А1С В1А С1В (1)
Доказательство. Сначала докажем , что если прямая l пересекает прямые ВС, АС, АВ соответственно в точках А1, В1, С1, то выполняется равенство (1).
Проведем любую прямую р, пересекающую прямую l, и через точки А, В, С проведем соответственно а//l, b//l, c//l. Прямые а, b, c, l пересекут прямую р в точках К, L, M, N. По теореме о прямых, пересеченных параллельными прямыми:
А1С = KN В1А = LN СВ1 = MN
С1В NL , А1С NM , В1А NK. (2)
Перемножая равенства (2) c (1). Получаем равенство:
KN = MN = LN = -1
NK NM NL Получаем равенство (1). Теорема доказана.
Примечание. Любая прямая, не проходящая через вершины треугольника, не параллельная его сторонам, либо не пересекает ни одну из его сторон, либо пересекает две стороны и не пересекает третью. Поэтому в равенстве (1) либо все три отношения имеют знак «минус», либо два из них имеют знак «плюс», а третье - «минус». Во всех случаях произведение в левой части (1) отрицательное.
1.3 Эпизод 3: Замечательные точки
С каждым треугольником связан ряд точек, обладающих многими интересными, замечательными свойствами. Это центр описанной окружности точка, в которой пересекаются серединные перпендикуляры к сторонам треугольника. Точка пересечения биссектрис внутренних углов треугольника является центром вписанной в треугольник окружности. Мы знаем также, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Как видим, все эти точки интересны уже тем, что в них пересекаются три определенные прямые. Мы разберем те точки, которые не даются в школьной программе:
1.Точки Аполлония :
Две такие точки, расстояние от которых до вершин треугольника обратно пропорциональны сторонам, которые противолежат этим вершинам.
Эти точки обладают определенными свойствами:
Окружности, построенные как на диаметре на отрезке, соединяющем основания внутренней и внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, проходят через точки Аполлония.
Точки Аполлония лежат на прямой, соединяющей центр описанной окружности с точкой Лемуана. Эта прямая называется осью Брокара.
Подерные треугольники точек Аполлония правильные (иногда это свойство принимается за определение).
Точки Аполлония изогонально сопряжены точкам Торричелли.
Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли, отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в точке пересечения медиан.