Комитет образования городского округа «Город Чита»

МОУ «Многопрофильная гимназия №12»

Тема: Эпизоды жизни треугольника.

Исполнитель:

Спирёва Дарья

ученица 9А класса

Научный руководитель:

преподаватель по математике

Третьякова Н.А.

Чита 2013 г

Содержание

Тема: Эпизоды жизни треугольника

Спирёва Дарья

Россия, Забайкальский край, город Чита

МОУ «Многопрофильная гимназия №12»

Введение

Актуальность этой темы заключается в том, что описанные в реферате теоремы применяются для решения олимпиадных задач, связанных с треугольником. Объектом изучения являются сами теоремы, и их применение в задачах Предметом является решение олимпиадных задач неординарным, рациональным способом. Цель: Исследовать некоторые эпизоды из жизни треугольника, т.е теоремы и свойства треугольника, не включенные в школьную программу, а так же применить их на практике.

Задачи: 1. Познакомиться с теоремой Чевы, теорема Паскаля, теорема Герона, а так же с некоторыми свойствами треугольника.

2. Применить эти теоремы на практике.

Материал: олимпиадные задачи, научная литература, теоремы.

Метод решения задач, как с доказательством, так и с параметрами, с опорой на свойства и теоремы.

Новизна работы заключается в том, что на применение этих теорем построены некоторые олимпиадные задачи.

Практическое применение: решение олимпиадных задач.

Глава 1. «Понятие о треугольнике. Эпизоды: теорема Менелая, теорема Чевы, теорема Паскаля, теорема Герона, площадь сечения»

1. Треугольник – замечательная простейшая фигура

Знакомый всем треугольник по праву считается простейшей из фигур: любая плоская, т.е. простирающаяся в двух измерениях, фигура должна содержать хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Если соединить эти точки попарно прямолинейными отрезкам, то построенная фигура и будет треугольником. Так же называют и заключенную внутри образовавшегося контура часть плоскости.

Треугольник чрезвычайно богат свойствами, с треугольником связаны замечательные точки (точка пересечения высот – ортоцентр, точка пересечения медиан – центроид, центры вписанной около него окружностей, точек Торричелли – точка, для которой сумма квадратов расстояний до вершин минимальна и т.п.).

С треугольником связаны замечательные теоремы, составляющие главную основу геометрии, в частности теорема Менелая, теорема Чевы, теорема Паскаля и др.

В общем, треугольник настолько замечательная фигура, что существует специальная геометрия этой фигуры, созданная трудами таких математиков, как Штейнер, Мор, Брокар и другие.

1. Эпизод 1: теорема Чевы и её обобщение. Точка Жергона.

В геометрии существует изобилие теорем о трех прямых, проходящих через одну точку. Но возникает вопрос: нет ли какого-то общего способа доказывать аналогичные утверждения? Именно этот способ и есть теорема итальянского механика и математика Джованни Чевы.

Теорема Чевы: Если три чевианы пересекаются в одной точке, то отношения , в которых их основания А₁, В₁, и С₁ делят стороны треугольника, удовлетворяют равенству

ВА_{1 *}СВ_{1 *} АС₁ = 1

А₁С В₁А С₁В (1)

Обратная теорема: Если точки А₁, В₁, и С₁ на прямых, ограничивающих треугольник АВС, удовлетворяют условию Чеву, причём собственно на его сторонах лежат все три либо ровно одна их них, то соответствующие чевианы пересекаются в одной точке или параллельны.

Доказательство.

А) В теорем Чевы два взаимообратных утверждения. Сначала докажем, что если три отрезка AA₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в точке О, то выполняется равенство (1). Проведем через вершину В прямую а|| АС. Пусть прямые АА₁ и СС₁ пересекают прямую а в точках Р и Q соответственно. Тогда из подобия треугольников АА₁С и РА₁В имеем:

СА_{1 =} АС А₁В РВ (2)

Аналогично из подобия треугольников АС₁С и ВС₁Q

ВС_{1 =} BQ

С₁А AC (3)

Наконец из подобия треугольников ОАС и ОРQ

A₁B = PB B₁C BQ (4)

Перемножив соответственно левые и правые части равенств (2),(3),(4), получим (1). Первое утверждение доказано.

б) докажем обратное ему утверждение. Пусть выполнено равенство (1). Покажем , что отрезки АА₁ ВВ₁, СС₁ проходят через одну точку. Пусть точка О – точка пересечения отрезков АА₁ и ВВ₁. Проведём из точки С через точку О луч l. Пусть он пересечет сторону АВ в точке С`. Тогда, как доказано,

АВ_{1 *} СА_{1 *} ВС` = 1

В₁С А₁В C`A (5)

Из (1) и (5) получаем, что

ВС`= ВС₁

С`А С₁А (6)

Следовательно, точки С` и С₁ делят отрезок ВА в одном и том же отношении. Поэтому точки С и С₁ совпадают. Итак, все три отрезка АА₁ ВВ₁, СС₁ проходят через точку О.

Следствием теоремы Чевы, очевидно, является теорема о точке пересечения медиан треугольника, так как в этом случае.

АВ₁ * СА₁ * ВС₁ = 1

В₁С А₁В C₁A

Не многим сложнее получить из теоремы Чевы теорему о точке пересечения биссектрис треугольника. Достаточно вспомнить, что для биссектрис АА₁, ВВ₁,СС₁ выполняются равенства

АВ₁= АВ СА₁ = СА ВС₁=ВС

В₁С ВС, А₁В АВ, С₁А СА

и перемножить их.

А вот новая теорема: прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанного круга, пересекаются в одной точке – ( она называется точкой Жергона).

Действительно, но в этом случае АВ₁ = АС₁, ВА=ВС и СА = СВ₁, откуда и следует (1).

Наконец обратимся к теореме пересечения высот треугольника. Внутри треугольника пересекаются высоты лишь остроугольного треугольника АВС. Для него АС₁ = bcosA, ВС₁ = acosB, ВА₁= ccosB,СА₁= bcosC, СВ₁ = acosC, АВ₁ = ccosA, откуда и следует (1). Но высоты тупоугольного треугольника не пересекаются, а пересекаются их продолжения, причем вне треугольника.

Непосредственно теорему Чевы в этой формулировке, что была дана, к этому случаю не применить.

Но , оказывается, что теорема Чевы допускает такое обобщение, в котором уже речь пойдет о прямых, проходящих через вершины треугольника. Точка же пересечения этих прямых может лежать вне треугольника. Но чтобы получить такое обобщение теоремы Чевы, надо ввести отношение направленных отрезков, лежащих на одной прямой.

На прямой АВ возьмём произвольную точку С, отличную от точек А и В. Тогда направленные отрезки АС и СВ коллинеарные. Так как СВ ≠ 0, то АС = λСВ. Если С лежит на отрезке АВ, то АС ↑↑СВ и λ = -АС/СВ.

Имея это в виду, говорят что точка С делит отрезок АВ в отношении λ. При этом считают, что случай λ < 0 соответствует положению точки с на прямой АВ вне отрезка АВ.

Итак, будем отношение АС/СВ отрезков АС и СВ. лежащих на одной прямой, понимать как отношение их длин, если АС и СВ сонаправлены, и как такое же отношение, но со знаком «минус», если АС и СВ направлены противоположно.

Теперь, если в равенстве (1) отношение отрезков понимать именно в таком смысле(со знаком), то теоремы Чевы можно дать обобщение.

Обобщенная теорема Чевы: Пусть a, b, с проходят через вершины А, В, С треугольника АВС и пересекаются прямые ВС, СА, АВ в точках А₁, В₁, С₁ соответственно. Тогда прямые a, b, с пересекаются в одной точку или параллельны тогда и только тогда, когда имеет место равенство (1).

Для частного случая параллельных прямых соотношение (1) следует из равенств

АВ₁ = А₁В, ВС₁ = В₁С, СА₁ = С₁А

В₁С ВС₁, С₁А СА₁, А₁В АВ₁