Вопрос №16. Эконометрические модели с нестандартными ошибками

У нестандартных ошибок ковариационная матрица может быть отлична от диагональной матрицы Cov()_²Е, что является следствием существования корреляционных взаимосвязей между ее разновременными значениями на интервале (1, Т), и/или дисперсия ошибки может не обладать свойством постоянства, _²const (гетероскедастичность ошибки) или ошибка  может быть связана с одной или несколькими независимыми переменными эконометрической модели х_i.

Нарушение условий приводит к тому, что оценки коэффициентов эконометрических моделей, полученные на основе “классических” методов МНК и ММП, теряют некоторые свои “качества”. Прежде всего это относится к свойству эффективности оценок, полученных при ограниченных объемах выборки. Такая ситуация, заставляет нас искать определенные подходы, приемы получения “качественных” оценок параметров эконометрических моделей и при свойствах их ошибок, отличных от тех, которые были определены стандартными условиями.

Данные подходы и приемы обычно базируются на так называемых обобщенных методах оценивания – обобщенном МНК (ОМНК) и обобщенном ММП (ОММП), на использовании при получении оценок параметров моделей так называемых “инструментальных переменных”. Рассмотрим особенности этих подходов более подробно.

Обобщенный метод наименьших квадратов

Математическое обоснование ОМНК базируется на свойстве положительно определенной^* ковариационной матрицы , допускающей представление в виде произведения двух матриц: =, (3.8) где матрица  — невырожденная. Из (3.8) непосредственно вытекает, что ^–1()^–1=Е, (3.9) и ()^–1^–1=^–1. (3.10)

Для доказательства равенства (3.9) достаточно левую и правую часть выражения (3.8) умножить слева на ^–1 и справа на ()^–1. Равенство (3.10) непосредственно вытекает из свойств обращения произведения матриц.

Предположим, что матрица  известна. Умножим матрично-векторное уравнение исходной эконометрической модели у=Х+ слева на матрицу ^–1 и получим у_*=Х_*a+_*, (3.11) где у_*=^–1у; Х_*=^–1Х ; _*=^–1 . (3.12)

Покажем, что ковариационная матрица вектора _* равна Е. Для этого запишем: Cov(_*)=M[_*, _*]=M[^–1_*_*^–1]=^–1^–1=E. (3.13) Из (3.13) непосредственно вытекает, что _²=1.

Применяя к модели (3.11) обычный метод наименьших квадратов, получим вектор оценки a из следующего выражения: a=(Х_*Х_*)^–1Х_*у_*=(Х^–1Х)^–1Х^–1у. (3.14) Оценки коэффициентов a, полученные на основании выражения (3.14), обладают свойствами несмещенности и эффективности.

Обобщенный метод максимального правдоподобия

В обобщенном ММП предполагается, что ошибка модели подчиняется нормальному закону распределения , т. е. ()N(0, _). В этом случае плотность нормального закона распределения значений ошибки _t, t=1,2,... Т; можно представить в следующем виде: ()=  _ _y^–1].)= (₁ ₂... _T) _ _^–1],(3.18). При этом ₁ =₂=...=_Т.

При независимых ошибках ₁, ₂,..., _{Т ,}  ( )=

Логарифм выражения (3.18), являющийся логарифмом функции правдоподобия для взаимозависимых или гетероскедастичных ошибок ₁,..., _Т с учетом представления их вектора в виде =у–Х, записывается следующим образом: l= – ln(2) – ln_² – ln_– (у –Х)_^–1(у –Х). (3.19)

Дифференцируя выражение (3.19) по вектору параметров  и дисперсии ошибки _² и приравнивая нулю частные производные выражения для оценок параметров модели и ее дисперсии в следующем виде: a=(Х_^–1у)^–1Х_^–1у; _²= (у –Хa) _^–1(у –Хa). (3.21). Заметим, что с учетом равенства _=²_ первое выражение из (3.21) можно записать в следующем виде: a=(Х_^–1у)^–1Х_^–1у. (3.22)

Оценки ОММП обладают свойствами асимптотической несмещенности, состоятельности и эффективности.

Метод инструментальных переменных

Для получения несмещенных (по крайней мере состоятельных) оценок параметров эконометрических моделей в ситуациях, когда имеют место корреляционные взаимосвязи между независимыми переменными x_it и ошибкой _t, теория рекомендует подходы и методы, основанные на использовании инструментальных переменных.

Предположим, что существуют так называемые “инструментальные” переменные z_i, число которых в общем случае совпадает с числом независимых факторов модели х_i, i=1,2,..., n; и при t=1,2,..., Т, каждая из которых характеризуется нулевыми корреляционными взаимосвязями с ошибкой эконометрической модели . При заданном Т матрица значений инструментальных переменных Z имеет такой же размер, как матрица Х.

Умножим слева векторно-матричное уравнение на матрицу у=Х+ на матрицу Z. Получим Zу=ZХ+Z, (3.53). С учетом того, что M[Z]=0, умножая выражение (3.53) слева на (ZХ)^–1, непосредственно имеем a_z =(ZХ)^–1Zу, (3.54) где a_z – вектор оценок параметров эконометрической модели, полученный с использованием инструментальных переменных.(состоятельные)

17