Модуль 2

Лекция № 9. Mоделирование плоскопараллельной фильтрации жидкости при упругом режиме разработки

При пуске скважины в эксплуатацию, при остановке их, при изменении темпа отбора жидкости из скважин в пласте возникают неустановившиеся процессы, которые появляются в перераспределении пластового давления (в падении или росте давления вокруг скважины), в изменениях с течением времени дебитов, скоростей фильтрационных потоков и т. д.

Объем насыщающей пласт жидкости при снижении пластового давления ( ) увеличивается, а объем порового пространства уменьшается; это и определяет вытеснение жидкости из пласта в скважину, что является основой упругого режима.

Хотя коэффициенты сжимаемости воды , нефти и пористой среды очень малы, упругость жидкостей и породы оказывают огромное влияние на поведение скважин и пластов в процессе их эксплуатации, так как объемы пласта и насыщающей его жидкости могут быть очень велики.

Под упругим запасом жидкости в пласте понимается количество жидкости, которое можно извлечь из пласта при снижении давления в нем за счет объемной упругости пласта и насыщающей его жидкости, определяемого по формуле

или (1)

где - объем пласта; - коэффициент упругоемкости; – изменение давления во всех точках пласта.

Дифференциальное уравнение истощения залежи при упругом режиме имеет вид:

(2)

где Q(t) – дебит всех скважин эксплуатирующих данный объект.

Решая совместно уравнение неразрывности потока, уравнения движения и состояния сжимаемой жидкости и пласта, получим дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации упругой жидкости:

= æ (3)

где æ= - коэффициент пьезопроводности, характеризующий темп перераспределения пластового давления в условиях упругого режима.

Прямолинейно-параллельный неустановившийся поток упругой жидкости (рис. 1).

Пуст в полубесконечном горизонтальном пласте постоянной толщины h и ширины В начальное пластовое давление всюду постоянное и равно .

Галерея скважин - Р_г

Z B

КП- Р_к

у h

O x

L_k

Рисунок 1. Схема одномерного прямолинейно-параллельного потока

Давление в любой точке потока Х и в любой момент времени t определяется из уравнения неустановившейся фильтрации упругой жидкости, которое для рассматриваемого потока будет иметь вид:

= æ (4)

Примем начальные и граничные условия:

при t=0;

при x=0, t >0; (5)

при .

Точное решение уравнения (4) при условиях (5) имеет вид

P=P (6)

где erf x – интеграл вероятности.

Согласно закону Дарси, имеем

(7)

Накопленная к моменту времени t добыча определяется по формуле

Если в таком же полубесконечном пласте в момент времени t = 0 пущена в эксплуатацию галерея с постоянным объемным дебитом

Математически задача заключается в интегрировании уравнения (4) при следующих начальных и граничных условиях:

при t=0

при x=0 (8)

при

В этом случае давление в любой точке истока определяется по формуле:

(9)

Закон изменения давления на галерее определяется из (9) подстановкой граничного условия при 0. Получим

или (10)

Основная литература: 1 [131-143].

Дополнительная литература: 3 [277-283], 5 [16-20].

Контрольные вопросы:

1. Уравнение истощения залежи.

2. Дифференциальное уравнение упругого режима.

3. Коэффициент пьезопроводности.

4. Дебит галереи в полубесконечном пласте.

5. Накопленная добыча при упругом режиме.

Лекция № 10. Приближенные методы решения задач теории упругого режима в случае плоскопараллельного потока

Метод последовательной смены стационарных состояний (ПССС).

В момент времени t=0 в горизонтальном пласте постоянной толщины h и ширины B пущена в эксплуатацию галерея с постоянным забойным давлением. До пуска галереи во всем пласте .

Требуется найти распределение давления, закон перемещения границы возмущенной области l(t) и изменение дебита галереи во времени Q(t).

Дебит галереи при установившемся процессе

(1)

Воспользуемся уравнением материального баланса

(2)

где , (3)

Подставляя (1) в (2) с учетом (3), получим

(4)

После интегрирования (4) будем иметь:

или (5)

Распределение давления в возмущенной зоне

(6)

с учетом (5) имеем

(7)

Дебит галереи ,

(8)

Погрешность не превосходит 11%

B, в том же пласте, как и в случае А, пущена галерея с постоянным дебитом.

В этом случае уравнения (2) с учетом (1) принимает вид:

(9)

или

интегрируя , получим, откуда (10)

Распределение давления из (6) с учетом (1)

,

(11)

значение определяется из (11) при х=

(12)

погрешность до 25%.

Метод А. М. Пирвердяна

В отличие от ПССС распределение давления в возмущенной области по методу А.М. Пирвердяна задается в виде квадратной параболы.

Рассматривается плоско-параллельный неустановившийся поток упругой жидкости.

А. Рассмотрим случай постоянного дебита Q=const.

Уравнение распределения давления в возмущенной области

(13)

Дебит галереи

(14)

Градиент давления из (13)

тогда (15)

Средневзвешенное по объему пластовое давление

тогда (16)

Уравнение материального баланса примет вид:

откуда (17)

Интегрируя (17) в пределах от 0 до t и от 0 до l получим

(18)

Распределение давления в возмущенной области

, 0 < x , (19)

Давление на галерее определяется при

(20)

погрешность 9%, т. е. в 2,5 раза меньше, чем при

B. Рассмотрим случай, когда .

Уравнение материального баланса в этом случае принимает вид (с учетом (15) и (16))

или откуда (21)

Распределение давления в возмущенной области:

(22)

Дебит галереи (23)

погрешность около 2,5 %.

Основная литература: Осн. 1 [151-162]

Контрольные вопросы:

1. Сущность метода ПССС.

2. Закон перемещения внешней границы возмущенной области при постоянном дебите.

3. Закон перемещения внешней границы возмущенной области при Р_г = const.

4. Сущность метода А.М. Пирвердяна.

5. Закон перемещения внешней границы возмущенной области по методу А.М. Пирвердяна.

Лекция № 11. Моделирование плоскорадиального фильтрационного потока упругой жидкости. Метод ПССС для приближенного решения задач теории упругого режима.

Пусть в неограниченном горизонтальном пласте постоянной толщины h имеется скважина нулевого радиуса (точечный сток). В момент времени t = 0 скважина пущена в эксплуатацию с постоянным дебитом (рис. 1).

Стенка скважины - Р_с

Р_с r_c Контур питания - Р_к

Р_к

r_{к h} r_к

Рисунок 1. Схема плоскорадиального упругого потока в круговом пласте

Распределение давления в пласте Р(r,t) определяется интегрированием уравнения фильтрации упругой жидкости, которое для плоскорадиального движения запишется в виде

(1)

Начальные и граничные условия таковы:

при t=0

при (2)

при r=0, t >0.

Точное решение уравнения (1) при условиях (2) имеет вид:

(3)

где - интегральная показательная функция.

Формула (3) получила название основной формулы теории упругого режима фильтрации.

При малых значениях интегральная показательная функция

Тогда изменение давления на стенке скважины, определенное из (3) при будет:

(4)

Если в полубесконечном пласте работает n скважин, снижение давления в любой точке пласта М определяется с помощью метода суперпозиции по формуле:

(5)

где – дебит i – ой скважины (при этом дебит добывающей скважины считается положительным, дебит нагнетательной – отрицательным; - расстояние от центра i – ой скважины до точки М; - время с начала работы i – ой скважины до момента времени t, в которой определяется понижение давления.

Пусть в неограниченном горизонтальном пласте постоянной толщины h в момент времени t=0, пущена добывающая скважина радиуса r с постоянным дебитом Q. До пуска скважины во всем пласте .

Через время t после пуска скважины вокруг нее образуется возмущенная область радиуса r где давление в соответствии с ПССС будет распределяться по стационарному закону

(6)

Дебит скважины

(7)

Размеры возмущенной области

(8)

Т. к. то (9)

Подставив (8) и (9) в уравнение материального баланса, получим

или

откуда (10)

Подставляя (10) в (7), будем иметь

(11)

Давление на скважине определяют из (11) при r=r_с:

(12)

погрешность 10%.

Основная литература: 1 [133-150]

Дополнительная литература: 3 [277-283], 5[127-136],

Контрольные вопросы:

1. Коэффициент пьезопроводности.

2. Основная формула теории упругого режима.

3. Интерференция скважин при упругом режиме.

4. Изменение давления на стенке скважины.

5. Сущность метода ПССС.

Лекция №12. Приближенные методы решения задач теории упругого режима. Метод интегральных соотношений.

Метод интегральных соотношений.

Приближенное решение некоторых задач нестационарной фильтрации упругой жидкости с нужной точностью позволяет получить метод интегральных соотношений, предложенный Г. И. Баренблатом.

Метод основан на следующих предпосылках:

а) в каждый момент времени пласт делится на конечную возмущенную область и невозмущенную область, где движение отсутствует;

б) в возмущенной области распределение давления представляется в виде многочлена по степеням координаты r с координатами, зависящими от времени, так что для плоскорадиальной фильтрации

. (1)

где число п выбирается в зависимости от желаемой точности решения;

в) коэффициенты многочлена а_о, а₁, а₂ ... , а также размер области возмущения R(t) находится из условий непрерывности давления и гладкости кривой давления на границе области возмущения, а также из особых интегральных соотношений, которые получаются следующим образом.

В случае притока к скважине берется дифференциальное уравнение (1), его правая и левая части умножаются на r^к, где к = 1, 2, ... и приводится интегрирование по всей возмущенной области.

. (2)

Если в (2) подставить (1) и проинтегрировать, то получаются недостающие соотношения для определения коэффициентов а_о(t), а₁(t), а₂(t) ... и R(t).

Решим методом интегральных соотношений задачу о плоскорадиальной фильтрации упругой жидкости.

Распределение давления в возмущенной области пласта зададим в виде:

, (3)

т. е. возьмем многочлен первой степени.

Коэффициенты а_о, а₁, а₂ определяются из условий на забое скважины и на границе возмущенной области:

, (4)

при , (5)

при . (6)

Условие (6) представляет собой условие гладкости кривой. Пренебрегая вследствие их малости слагаемыми, содержащими r_c и r²_c, получим

(7)

Подставляя (7) в (3), будем иметь:

. (8)

Закон движения границы R(t) находится из уравнения материального баланса с учетом .

Значение средневзвешенного пластового давления с возмущенной области определяется с учетом (3)

. (9)

Интегрируя (9) и пренебрегая членами, содержащими r²_c, получаем

. (10)

Тогда (11)

Подставляя и (11) в , найдем:

,

откуда после интегрирования имеем:

. (12)

Следовательно, распределение давления (3) в возмущенной области будет иметь вид:

(13)

Основная литература: 1 [133-150]

Дополнительная литература: 3 [277-283]

Контрольные вопросы:

1. Сущность метода интегральных соотношений

Лекция №13. Приближенные методы решения задач теории упругого режима. Метод усреднения Соколова – Гусейнова.

Метод заключается в том, что в дифференциальном уравнении упругого режима производная от давления по времени усредняется по всей возмущенной области и заменяется некоторой функцией времени.

, (1)

значение, которой определяется из начальных и граничных условий. Тогда уравнение упругого режима принимает вид:

, (2)

Будем определять распределение давления при неустановившемся притоке упругой жидкости к скважине при постоянном дебите Q. При этом условия на забое и на границе возмущенной области имеют вид (4)-(6) (из лекции 12).

Интегрируя уравнение (2) по r при условиях (4)-(6) будем иметь:

, (3)

Из условия (6) определяем:

, (4)

Подставляя (4) в (3) и пренебрегая членами с r²_c, найдем

. (5)

Для определения координаты возмущенной области R(t), надо продифференцировать по t равенство (5), результат подставить в (1) и учесть выражение (4). Тогда будем иметь

. (6)

Следовательно, распределение давления (5) в возмущенной области будет иметь вид:

,

при . (7)

Основная литература: 1 [133-150]

Дополнительная литература: 3 [277-283]

Контрольные вопросы:

1. Сущность метода усреднения

Лекция № 14. Моделирование неустановившейся фильтрации газа в пористой среде. Приближенное решение задачи о притоке газа к скважине методом ПССС.

Для вывода дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации идеального газа в уравнении неразрывности потока подставляются выражения для компонента скорости фильтрации и уравнения состояния идеального газа.

Считая коэффициенты пористости m , проницаемости k и вязкости газа постоянными получим

, (1)

где

Рассмотрим конкретную задачу о притоке газа в скважину, расположенную в пласте бесконечной протяженности с постоянной толщиной h.

Дифференциальное уравнение (1) в данном случае имеет вид:

, (2)

которое решается при начальном и граничном условиях:

при t=0

при 0 (3)

Введем условие на забое скважины - Q = const массовый дебит.

Q

Откуда (4)

Проводя аналогию между неустановившейся фильтрацией упругой жидкости и идеального газа делаем вывод, что все соотношения для идеального газа давление входит в квадрате, коэффициент пьезопроводности для жидкости заменяется на для газа, коэффициент В остальном все соотношения аналогичны.

Тогда решение уравнения (2) при условии (3) и (4) имеет вид

(5)

Изменим давление на забое скважины (при r= r_c)

(6)

Решение задачи о притоке газа к скважине методом ПССС

В любой момент времени возмущенной областью является круговая область радиусом r(t) внутри которой давление распределяется по стационарному закону:

(7)

Вне возмущенной области при r>r(t). (8)

В возмущенной области принимается

при (9)

(10)

Из (10) (11) Подставив (11) в (7), получим

(12)

Для нахождения r(t) составим уравнение материального баланса.

Начальный запас газа (при ) в зоне радиуса r(t)

(13)

Текущий запас газа

(14)

где (15)

т.к. отбор газа происходит с постоянным дебитом, то или с учетом (13), (14 ) и (15) находим:

откуда

или (16)

Подставляя (16) в (12) получим

(17)

(18)

Основная литература: 1 [170-184]

Дополнительная литература: 3[303-310]

Контрольные вопросы:

1. Дифференциальное уравнение фильтрации газа.

2. Аналогия между неустановившейся фильтрацией упругой жидкости и идеального газа.

3. Определение давления на стенке газовой скважины при постоянном дебите.

4. Сущность метода ПССС

5. Уравнение материального баланса.

Лекции №15. Моделирование фильтрации двухфазной жидкости. Поршневое вытеснение нефти водой.

Задачи о движении границы раздела двух жидкостей в пористой среде представляют большой теоретический и практический интерес.

При разработке нефтяных месторождений в условиях водонапорного режима наблюдается стягивание контура нефтеносности (КН.) под напором краевой воды.

Рис. 1. Кинематические условия на подвижной границе раздела при взаимном вытеснении жидкостей.

Основная трудность точного решения задачи о движении границы раздела двух жидкостей в пористой среде заключается в том, что линии тока на границе раздела жидкостей преломляются.

Пусть кривая I-I (рис. 1) является границей раздела двух жидкостей с вязкостями и , и пусть, например, > (нефть вытесняется водой). Рассмотрим произвольную точку М границы I-I и проведем через нее касательную и нормаль к границе раздела жидкостей I-I. Найдем проекции скоростей фильтрации воды и нефти, находящихся в данный момент в точке М, ее касательную и нормаль, считая проницаемость пористой среды k постоянной по обе стороны границы раздела.

Согласно условию неразрывности потока массы элементарные расходы обеих несжимаемых жидкостей через элемент границы раздела, включающий точку М, должны быть равны между собой. Отсюда следует, что нормальные составляющие скоростей фильтрации обеих жидкостей будут равны, т.е. . Давление в пласте в точке М также должно быть одинаково для обеих жидкостей, так как при малых скоростях (ниже звуковых) разрыва давления в сплошном потоке быть не может.

Касательные составляющие скоростей фильтрации обеих жидкостей будут определяться по закону Дарси:

(1)

(2)

Так как > , то из (1) и (2) получаем, что . Отсюда следует, что результирующий вектор скорости фильтрации касательный к линии тока АМ, будет больше вектора , касательного к линии тока нефти МВ. Следовательно, линии тока АМ и МВ, проходящие через точку М, будут иметь излом в точке М. Учет этого преломления линий тока на границе раздела жидкостей и составляет главную трудность в точном решении задачи продвижения границы раздела.

Лини тока не будут преломляться только в двух случаях – при прямолинейно-паралельном и плоскорадиальном движениях границы раздела, когда Эти задачи прежде всего и будут рассмотрены. При этом жидкости (нефть и вода) считаются несжимаемыми, взаимно нерастворимыми и химически не реагирующими одна с другой и с пористой средой. Вытеснение нефти водой предполагается происходящим полностью – так называемое поршневое вытеснение.

1. Прямолинейно-параллельное вытеснение нефти водой (рис. 2)

Рис. 2. Схема прямолинейно-параллельного вытеснения нефти водой

при x=0; при x=L; начальное положение ВНК.

текущее положение. Примем, т.е. граница нефть-вода – вертикальная.

Распределение давления и скорость фильтрации в водоносной и нефтеносной областях:

0 (3)

(4)

(5)

(6)

Из условия, что имеем откуда

(7)

Подставляя (7) в (3)-(6), получим (8)

(9)

, (10)

Далее , (11)

Плоскорадиальное вытеснение нефти водой (рис. 3)

Рис. 3. Схема плоскорадиального вытеснения нефти водой

радиус начального положения ВНК;

радиус текущего положения ВНК; радиус КП; радиус скважины.

(13)

(14)

(15)

(16)

При т.е. откуда

(17)

Подставляя (17) в (13)-(16), получим:

(18) (19)

(20)

(21)

Основная литература: 1 [187-197]

Дополнительная литература: 3 [241-257]

Контрольные вопросы:

1. Скорость фильтрации в водоносной области.

2. Давление на границе раздела жидкостей при плоскопараллельной фильтрации.

3. Давление на границе раздела жидкостей при плоскорадиальной фильтрации.