Закони розподілу дискретних випадкових величин

Біноміальний розподіл (розподіл Бернуллі)

Цей розподіл виникає в ситуаціях, коли цікавляться частотою деякої події в серії незалежних випробувань. Подія може відбутися або ні

Дискретна випадкова величина X називається розподіленою за біноміальним законом, якщо вона може приймати тільки цілі невід’ємні значення з ймовірностями

де р – ймовірність появи події в кожному випробуванні,

q=1–p - ймовірність того, що подія не відбулася,

m – кількість сприятливих подій,

п – загальна кількість випробувань,

- біноміальний коефіцієнт.

Це ймовірність того, що n незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює p, ця подія наступить рівно m разів.

Математичне сподівання при біноміальному розподілі дорівнює MX=nр,

а дисперсія – =npq.

Наприклад: У лабораторії проводять експерименти з дослідження вірусів. 2-м щурам ввели вірус В₁, 3-м – вірус В₂ і 5-ти – вірус В₃. Ймовірність зараження вірусом В₁ дорівнює 0.1, вірусом В₂ – 0.3 і вірусом В₃ – 0.5. Навмання взятий щур виявився зараженим. Який вірус найімовірніше йому вводили?

Усього маємо n=10 щурів. Навмання взятий щур виявиться зараженим вірусом В₁ з ймовірністю:

вірусом В₂

вірусом В₃

Отже, найймовірніше, що навмання взятий щур виявиться зараженим вірусом В₂.

Розподіл Пуассона

Дискретна випадкова величина Х, називається розподіленою за законом Пуассона з математичним сподіванням і дисперсією , якщо вона приймає цілі невід’ємні значення з ймовірностями

.

λ – параметр розподілу Пуассона.

Тут розглядаються ймовірність того, що рідкісна подія, яка нас цікавить, відбудеться m разів під час довгої серії n незалежних випробувань.

Оцінити значення  можна за формулою

=np,

де n – кількість фактично проведених спостережень,

p – ймовірність появи рідкісної події в одному спостереженні.

Розподіл Пуассона може розглядатися як граничний випадок біноміального розподілу. Розподіл Пуассона інколи називають розподілом рідкісних подій.

Наприклад: Вакцина формує імунітет від деякого захворювання з ймовірністю 0,999. Провакциновано 4000 мешканців міста. Яка ймовірність того, що двоє з них не набули імунітету.

• ймовірність того, що імунітет не сформовано – р=1-0,999=0,001

• 

• .

Закони розподілу неперервних випадкових величин

Нормальний закон розподілу (Гаусса)

У біології та медицині найчастіше розглядають випадкові величині, які мають нормальний закон розподілу, наприклад, частота дихання, частота серцевих скорочень, динаміка росту популяції тощо.

Нормальний розподіл використовуються для опису реальних явищ, у яких:

• присутня сильна тенденція даних групуватися навколо центру,

• додатні та від'ємні відхилення від центру рівноймовірні,

• частота відхилень швидко спадає, коли відхилення від центру стають великими.

Для нормального закону розподілу щільність розподілу задається рівнянням:

де m – математичне сподівання, а  – середнє квадратичне відхилення.

Середнє квадратичне відхилення характеризує розсіювання випадкової величини.

Стандартним нормальним розподілом N(0,1) називають розподіл з нульовим математичним сподіванням m=0 і одиничною дисперсією =1, щільність розподілу якого має наступний вигляд:

Графік функції щільності нормального розподілу називають нормальною кривою або кривою Гаусса (рис. 2). Якщо m=0 і σ=1, то ця функція називається функцією Лапласа.

Рис. 2

Функція щільності нормально розподіленої випадкової величини

Правило трьох сигм. Якщо закон розподілу випадкової величини X невідомий, але

тоді можна припустити, що X розподілена нормально.