0. §2.3 Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

Моментом импульса материальной точки называют вектор , где - радиус-вектор точки, а - ее импульс, тогда:

, где - называется моментом силы, - сумма всех сил, действующих на точку.

Если момент сил, действующих на точку равен 0, то импульса момент сохраняется:

Если проекция момента силы на некоторую ось X равна нулю, то проекция момента импульса сохраняется:

Моментом импульса механической системы, называется сумма моментов импульсов всех ее точек.

, тогда , где - момент силы

Силы, действующие в системе, можно разделить на внешние и внутренние.

Рассмотрим сумму моментов внутренних сил. По третьему закону Ньютона, внутренних сил – четное число, причем две силы, всегда равны по величине и противоположны по направлению.

Будем складывать моменты внутренних сил попарно:

, так как произведение двух параллельных векторов равно 0.

Сумма моментов всех внутренних сил будет равна нулю, тогда , где - сумма моментов внешних сил.

Если сумма моментов внешних сил равна нулю, то момент импульса системы сохраняется (закон сохранения импульса).

Если проекция суммы моментов внешних сил на некоторую ось X равна нулю, то проекция момента импульса сохраняется.

0. §2.4 Работа и энергия.

Элементарной работой силы на бесконечно малом перемещении точки ее приложения, называется:

Работа характеризует действие силы.

Для обозначения элементарной работы используют (а не ), чтобы подчеркнут, что работа не является дифференциалом (изменением) какой либо величины.

Если точка приложения ,перемещается по некоторой траектории, от точки 1 до точки 2, то для вычисления работы силы на этой траектории, надо разбить ее на бесконечно малые участки, длиной , вычислить элементарные работы на каждом таком участке и затем сложить.

2

О

1

совпадает с

Если ввести вектор , направление которого будет совпадать с направлением движения точки, то , тогда

Сумма бесконечно малых слагаемых называется определенным интегралом:

, отличие данного интеграла от обычного, состоит в том, что он берется вдоль траектории движения – такой интеграл называется циркуляцией.

Мощностью сил называется отношение элементарной работы к бесконечно малому интервалу времени , за которое она была совершена.

, где - скорость точки приложения силы.

Кинетической энергией материальной точки называется

* * *

Частная производная.

Пример:

, где

Набла.

- градиент функции .

1. Градиент всегда направлен в сторону наибольшего возрастания функции.

2. Градиент всегда направлен перпендикулярно к поверхности, на которой функция постоянна.

* * *

Среди сил, действующих на материальную точку, есть такие, которые можно представить в виде градиента:

Такие силы называются потенциальными, а функция - потенциальной энергией.

z

z

mg

неустойчивое положение равновесия

F F

F F

X

положение равновесия

Силы, которые действуют на материальную точку, можно разделить на потенциальные и все остальные.

- полная энергия точки.

Полная энергия точки сохраняется, если мощность всех сил, действующих на точку, кроме потенциальной, равна нулю.

- мощность всех сил, кроме потенциальной.

Среди непотенциальных сил есть такие, мощность которых равна нулю – консервативные силы.

Следует заметить, что одни и те же силы( ) при определенных условиях, могут быть и консервативными и неконсервативными.

- всегда консервативная.

Среди консервативных сил, можно выделить такие, которые пропорциональны скорости в точке приложения силы и перпендикулярны ее направлению – такие силы называются гироскопическими.

Силы, мощность которых отрицательна, называются диссипативными.

Кинетической энергией системы, называется сумма кинетических энергий всех ее частиц.

Потенциальной энергией системы, называется сумма потенциальных энергий всех ее частиц.

Полной энергией системы, называется , тогда , где - сумма мощностей всех сил (внутренних и внешних), действующих в системе, кроме потенциальной.

Если , то полная энергия системы сохраняется.

Системы, в которых энергия сохраняется, называется консервативными.