9. Суммирование погрешностей

9.1. Основы теории суммирования погрешностей.

Определение расчетным путем оценки результирующей погрешности по известным оценкам ее составляющих называется суммированием погрешностей. Практические правила расчетного суммирования результирующей погрешности состоят в следующем [4]:

1. Исходными данными для расчета должны служить оценки всех отдельных составляющих погрешности, а не оценки некоторых суммарных погрешностей.

2. Для каждой составляющей должна быть найдена оценка ее СКО. В большинстве случаев для этого необходимо знание или предложение о виде закона ее распределения.

3. Все составляющие погрешности разделяются на аддитивные и мультипликативные, которые суммируются отдельно.

4. Так как в большинстве случаев точное значение коэффициента корреляции ρ найти невозможно, то все погрешности должны быть условно разделены на:

   • сильно коррелированные при 0,7≤|ρ|≤для которых считают |ρ|±1 в зависимости от знака коэффициента корреляции;

   • слабо коррелированные при 0≤|ρ|≤0,7, для которых |ρ|=0

5. Из суммируемых составляющих выделяются группы сильно коррелированных между собой погрешностей, и внутри этих групп производится алгебраическое суммирование их оценок.

6. После алгебраического суммирования групп сильно коррелированных погрешностей суммарные по группам и оставшиеся вне групп погрешности можно считать некоррелированными и складывать по правилу геометрического суммирования.

Для определения СКО суммарной погрешности при начальном значении измеряемой величины складывают лишь аддитивные составляющие, а для определения СКО погрешности в конце диапазона изменения измеряемой величины –все суммируемые составляющие.

7. Для перехода от СКО погрешности к доверительному значению должно быть тем или иным образом вынесено суждение о форме закона распределения результирующей погрешности и тем самым выбрано значение квантильного множителя.

Изложенная методика может быть несколько упрощена. Самым сложным в ней является нахождение оценок СКО всех составляющих по известным их интервальным оценкам и определение интервальной оценки результирующей погрешности по найденному СКО. В обоих случаях необходимо знание закона распределения погрешностей.

Упрощение методики суммирования состоит в том, чтобы сделать эти переходы по возможности более простыми. Один из вариантов состоит в следующем. Согласно центральной предельной теореме, если число суммируемых независимых составляющих достаточно велико (практически при m≥5) и если среди этих составляющих нет существенно преобладающих над остальными, то результирующий закон распределения близок к нормальному. Однако предложение о близости закона распределения к нормальному без соответствующего анализа достаточно рискованно даже и при большом числе суммируемых составляющих. Тем не менее при недостатке времени и невысоких требованиях к точности получаемого результата предложение о нормальности закона распределения результирующей погрешности вполне возможно. В этом случае доверительный интервал ∆_д=z_ρS_∑, где z_ρ –квантильный множитель, определяемый через функцию Лапласа; S_∑ -суммарное СКО или его оценка.

Такой прием существенно снижает трудоемкость расчетов, но может вносить весьма значительные ошибки, если реальное распределение сильно отличается от нормального закона, поэтому использовать его надо весьма осмотрительно.

В качестве другого пути упрощения перехода от СКО результирующей погрешности к ее интервальной оценке следует указать возможность использования доверительной вероятности Р_д=0,9, при которой для широкого класса симметричных распределений, а именно для равномерного, треугольного, трапецеидальных, нормального, экспоненциальныхс показателем степени α≥2/3, двухмодальных с глубиной антимодальности менее 1,5 имеет место соотношение

∆_д=1,6S_∑ (9.1)

Отсюда вытекает, что значение доверительного интервала, найденное по формуле (9.1) для любых из названных распределений, является интервалом с 90%-ной доверительной вероятностью.

Дальнейшее упрощения методики, выражающиеся в пренебрежении разделением погрешностей на аддитивные и мультипликативные, коррелированные и некоррелированные, недопустимы, поскольку при суммировании погрешностей получены неверные результаты.