4.3. Математические модели и характеристики погрешности

В общем случае результаты измерений и их погреш­ности должны рассматриваться как функции, изменяю­щиеся во времени случайным образом, т.е. случайные функции, или, как принято говорить в математике, слу­чайные процессы. Поэтому математическое описание ре­зультатов и погрешностей измерений (т.е. их математи­ческие модели) должно строиться на основе теории слу­чайных процессов [24, 25]. Без этого невозможно решение большого числа практических метрологических задач.

При построении математической модели погрешно­сти измерений следует учитывать всю информацию о проводимом измерении и его элементах. Для измерений, проводимых различными методами и средствами, моде­ли могут существенно различаться.

В общем случае абсолютную погрешность измерения ∆(t) следует представлять [7, 26] в виде суммы нескольких составляющих:

Каждая из них может быть обусловлена действием нескольких различных источников погрешностей и в свою очередь состоять также из некоторого числа состав­ляющих.

Систематическая составляющая _s(t) представляет собой нестационарную случайную функцию, описы­вающую постоянную или инфранизкочастотную по­грешность, причины возникновения которой могут быть различными. Периоды изменения составляющих систе­матической погрешности значительно больше времени, необходимого для проведения измерения. Поэтому погрешность _s(t) условно принимается за постоянную и для ее учета применяются математические методы, разра­ботанные для неизменных во времени и от измерения к измерению погрешностей, значения которых неизвестны.

Составляющая является случайной и имеет широкий частотный спектр. Периоды изменения состав­ляющих этой погрешности меньше или сравнимы со временем измерения. Она может быть разделена на две составляющие: , которые являются ста­ционарными случайными функциями времени, с раз­личными частотными спектрами — высокочастотным и низкочастотным соответственно. Автокорреляционная функция высокочастотной составляющей погрешности затухает в течение времени, значительно меньшего вре­мени измерения. Для низкочастотной составляющей ав­токорреляционная функция затухает до нуля в течение времени, большего времени отдельного измерения. Та­кое различие в поведении этих составляющих обуславли­вает их выделение и применение к ним различных мето­дик обработки.

Составляющая является центрированной слу­чайной величиной, не зависящей от времени, но изме­няющейся от измерения к измерению. Величины и могут быть объединены в одну стационарную цен­трированную функцию . Ее автокорреляционная функция затухает на интервале времени, который мень­ше времени проведения всего измерения, но существен­но больше интервала времени, необходимого для одного измерения. В связи с этим математическая модель по­грешности измерения может быть записана в виде

Отдельные составляющие этого уравнения могут от­сутствовать при моделировании погрешности конкретного измерения. Так, зачастую нет необходимости учитывать высокочастотную составляющую погрешности измерения.

Эффективное использование рассмотренной модели погрешности измерения возможно только при известном частотном спектре ее составляющих. Однако данное ус­ловие, весьма трудно выполнить на практике, поэтому часто случайная погрешность измерения описывается не случайной функцией, а представляется еще более упро­щенно — в виде случайной величины. В этом случае для описания погрешностей используются теория вероятно­стей и математическая статистика. Однако прежде необ­ходимо сделать ряд существенных оговорок [4]:

• применение методов математической статистики к обработке результатов измерений правомочно лишь в предположении о независимости между собой отдельных получаемых отсчетов;

• большинство используемых в метрологии формул теории вероятностей правомерны только для непрерыв­ных распределений, в то время как распределения по­грешностей вследствие неизбежного квантования отсче­тов, строго говоря, всегда дискретны, т. е. погрешность может принимать лишь счетное множество значений.

Таким образом, условия непрерывности и независи­мости для результатов измерений и их погрешностей со­блюдаются приближенно, а иногда и не соблюдаются. В математике под термином «непрерывная случайная ве­личина» полагают существенно более узкое, ограничен­ное рядом условий понятие, чем «случайная погреш­ность» в метрологии.

С учетом этих ограничений процесс появления слу­чайных погрешностей результатов измерений за вычетом систематических и прогрессирующих погрешностей обычно может рассматриваться как центрированный ста­ционарный случайный процесс. Его описание возможно на основе теории статистически независимых случайных величин и стационарных случайных процессов