3. Предпочтительные числа и ряды предпочтительных чисел Задание 2

На основании ГОСТа 8032-84 «Предпочтительные числа и ряды предпочтительных чисел» и данного варианта решить задачу 1, состоящую из 7 пунктов.

Определение и назначение предпочтительных чисел.

Принцип предпочтительности является теоретической базой современной стандартизации.

Согласно этому принципу устанавливают несколько рядов значений стандартизуемых параметров с тем, чтобы при их выборе первый ряд предпочесть второму, второй — третьему.

В соответствии с этим ряды предпочтительных чисел должны удовлетворять следующим требованиям:

1) представлять рациональную систему градаций, отвечающую потребностям производства и эксплуатации;

2) быть бесконечными, как и в сторону малых, так и в сторону больших значений, т.е. допускать неограниченное развитие параметров или размеров в направлении их увеличения или уменьшения;

3) включать все десятикратные значения любого члена и единицу;

4) быть простыми и легко запоминающимися.

Специальные исследования показали, что всем этим требованиям наилучшим образом удовлетворяют геометрические прогрессии с десятикратным увеличением каждого n-го члена. Из условия: получаем , откуда

Произведение или частное двух предпочтительных чисел, а также положительные или отрицательные степени чисел ряда дают предпочтительное число этого же ряда с относительной ошибкой в пределах от -1,01 до +1,26%. Куб любого числа ряда в 2 раза больше куба предыдущего числа, а квадрат в 1,6 раза больше квадрата предыдущего числа (с относительной ошибкой до 0,1%).

Отступление от предпочтительных чисел и их рядов допускается в следующих случаях:

• округление до предпочтительного числа выходит за пределы допускаемой погрешности;

• значение параметров технических объектов следуют закономерности, отличной от геометрической прогрессии.

В порядке исключения, если округление до приведенных чисел связано с потерей эффективности или невозможно, то можно воспользоваться предпочтительными числами дополнительных рядов — R80 и R160.

ГОСТ 8032-84 устанавливает четыре основных ряда предпочтительных чисел и два дополнительных (R80 и R160), применение которого допускается только в отдельных, технически обоснованных случаях. Если округление до приведенных чисел основного ряда связано с потерей эффективности или невозможно, то можно воспользоваться предпочтительными числами дополнительных рядов — R80 и R160.

Краткие сведения об этих рядах приведены в табл. 1.

Таблица 1

Условное обозначение ряда	Знаменатель прогрессии	Количество членов ряда в десятичном интервале	Относительная разность между смежными членами ряда, %
R5	1.5849=1.6	5	60
R10	1.2589=1.25	10	25
R20	1.12	20	12
R40	1.0593=1.06	40	6
R80	1.0292=1.03	80	3
R160	1.015=1.02	160	1.5

В табл. 2 приведены округленные значения предпочтительных чисел ряда R40 в десятичном интервале от 1 до 10.

На примере этой таблицы рассмотрим некоторые свойства основных рядов предпочтительных чисел.

1. ГОСТ 8032-84 устанавливает стандартные значения предпочтительных чисел в диапазоне 0<a< на основе фиксированных значений предпочтительных чисел, включенных в десятичный интервал 0<a≤10. Все эти числа, включенные в ряд R40, приведены в табл. 2.

Для перехода от предпочтительных чисел, приведенных в таблице 2, в любой другой десятичный интервал нужно умножать эти числа на , где k- целое положительное (или отрицательное) число, определяющее отдаление десятичного интервала в ту или другую сторону от заданного, принятого за нулевой (k=0).

Так, при k=1 числа переходят в интервал 0<a≤100, при k=-1 - в интервале 0.1<a≤1 и т.п.

Практически умножение предпочтительных чисел на сводится к переносу запятой, входящий в каждое число таблицы 2, на k знаков вправо (при +k) или влево (при -k).

Приведем примеры образования стандартных предпочтительных чисел в разных десятичных интервалах: 5.00* =5000; 1.18* =0.0118; 3.75*10=37.5.

2. Номер ряда предпочтительных чисел (R40,R20,R10,R5) указывает на количество чисел в десятичном интервале. Так, ряд R40 содержит в десятичном интервале 40 чисел.

Число 1.00, имеющееся в табл. 2, не входит в десятичный интервал 0<a≤10. Его можно рассматривать как завершающее число предыдущего десятичного интервала 0.1<a≤1.

3. Таблица включает в себя все основные ряды предпочтительных чисел. В ней трудно найти числа, образующие ряды R5,R10,R20.

Для примера построим ряд R5. Здесь полезно напомнить одно из требований к рядам предпочтительных чисел: они должны включать единицу. С единицы и начнём, включив её в отрезок ряда R5 (в таблице 2 единица имеет 0 номер). Чтобы получить следующее число ряда R5, нужно умножить единицу на знаменатель прогрессии q=1.60. Найдем искомое число под номером 8. Дальнейшее последовательное умножение найденных чисел на q и округление полученных значений (округление во всех рядах R приняты одинаковыми) приведут к ряду R5: 1-1.6-2.5-4.0-6.3-10.0-16.0-...

Таблица построена так, что все числа ряда R5 оказались в нижней её строке (будем называть её восьмой строкой - по номеру числа в первом столбце). Нетрудно видеть, что в десятичном интервале 1<a≤10 ряд R5 содержит пять чисел.

Аналогично находим в таблице числа R10 и R20. Начинаем в обоих случаях с единицы и умножаем числа на соответствующие знаменатели прогрессии.

Ряд R10 имеет вид: 1-1.25-1.60-2.00-2.50-2.00-2.50-3.15-4.00-5.00-6.30-8.00-10.00-12.50- ...

Легко обнаружить, что все эти числа входят в четвёртую и восьмую строки таблицы. Десятичный интервал 1<a≤10 содержит 10 чисел.

Числа ряда R20 входит во все четыре строки таблицы: вторую, четвертую, шестую и восьмую. В десятичном интервале 1<a≤10 ряда R20 будет, как следовало ожидать, двадцать чисел.

4. В табл. 2 есть число 3.15, которое стандартизаторы использовали в своей практике в качестве числа π = 3.1416. Неточность, вносимая при этом, не превышает 0.03 %, что находится внутри принятого диапазона округления ряда R40.

Использование при расчетах числа "пи" позволяет выражать предпочтительными числами длины окружностей, площади кругов, угловые скорости, скорости резанья, цилиндрические и сферические поверхности и объемы. При этом используется свойство геометрических прогрессий: произведение членов прогрессии является членом той же прогрессии. Так если выразить диаметр окружности D предпочтительным числом, например, ряда R40 и умножит это число на другое предпочтительное число 3.15, то длина окружности l = π×D будет представлена предпочтительным числом того же ряда.

Число "пи" в стандартизации применяется для согласования параметров и размеров, связанных между собой не только линейными или степенными зависимостями.

5. В табл. 2 все предпочтительные числа ряда R40 имеют номера от 0 до 40. Эти номера облегчают стандартизаторам расчеты взаимосвязанных показателей стандартов, ускоряют вычисление.

Обратим внимание на то, что номера чисел N представляют собой логарифмы предпочтительных чисел, а при основании логарифмов, равным знаменателю прогрессии q: N = log q^a

В самом деле, знаменатель прогрессии ряда R40 равен q=1.06 . Очевидна логарифмическая связь между номерами и соответствующими предпочтительными числами: q⁰ = 1, q¹ =1,06, q² = 1,12, q⁴⁰ = 10 … q⁴² = q¹⁰ × q² = 10 × 1,12 = 11,22

В практике вычислений для упрощения расчетов используется известное свойство логарифмов, позволяющее вместо умножения или деления самих предпочтительных чисел складывать или соответственно вычитать номера этих чисел, а по результирующему номеру определять искомое число. Это дает кроме ускорения вычислений возможность оперировать с округленными числами и позволяет определять стандартный результат расчетов, без дополнительных округлений.

Таблица 2 – Главные ряды предпочтительных чисел

Основные ряды				Номер предпочтительного числа	Расчетные величины числа
R5	R10	R20	R40
1,00	1,00	1,00	1,00	0	1,0000
			1,06	1	1,0593
		1,12	1,12	2	1,1220
			1,18	3	1,1885
	1,25	1,25	1,25	4	1,2589
			1,32	5	1,3335
		1,40	1,40	6	1,4125
			1,50	7	1,4962
1,60	1,60	1,60	1,60	8	1,5849
			1,70	9	1,6788
		1,80	1,80	10	1,7783
			1,90	11	1,8836
	2,00	2,00	2,00	12	1,9953
			2,12	13	2,1135
		2,24	2,24	14	2,2387
			2,36	15	2,3714
2,50	2,50	2,50	2,50	16	2,5119
			2,65	17	2,6607
		2,80	2,80	18	2,8184
			3,00	19	2,9854
	3,15	3,15	3,15	20	3,1623
			3,35	21	3,3497
		3,55	3,55	22	3,5481
			3,75	23	3,7584
4,00	4,00	4,00	4,00	24	3,9811
			4,25	25	4,2170
		4,50	4,50	26	4,4668
			4,75	27	4,7315
	5,00	5,00	5,00	28	5,0119
			5,30	29	5,3088
		5,60	5,60	30	5,6234
			6,00	31	5,9566
6,30	6,30	6,30	6,30	32	6,3096
			6,70	33	6,6834
		7,10	7,10	34	7,0795
			7,50	35	7,4989
	8,00	8,00	8,00	36	7,9433
			8,50	37	8,4140
		9,00	9,00	38	8,9125
			9,50	39	9,4406
10,00	10,00	10,00	10,00	40	10,0000

Задача 1

1. Сколько чисел в десятичном интервале ряда R10, R20, R 80?.

2. Пользуясь таблицей 2, выпишите последовательно все числа ряда R20.

3. Раскройте обозначения ряда.

Таблица 3

№ вар	Обозначение ряда	№ вар	Обозначение ряда
1	R40 (5...190)	8	R5(10...40)
2	R20 (22,4...)	9	R10 (315...)
3	R10 (...50)	10	R40 (...265)
4	R´20 (100...250)	11	R20/3(0,25...4,0)
5	R10/2(l, 25...)	12	R10/3(...80...)
6	R10 (6,3...10)	13	R40 (...425...)
7	R´40 (25...50)	14	R5 (40...100)

4. Запишите в развернутом виде ряд. Сколько членов содержит ряд?

Таблица 4

№ вар	Обозначение ряда	№ вар	Обозначение ряда
1	R20(16...90)	8	R40(60...100)
2	R40(53...95)	9	R5(6,3...40)
3	R5(1...100)	10	R10(l,25...31,5)
4	R10(2...100)	11	R20(0,25...63)
5	R10(25...125)	12	R40(l,6...15)
6	R40(112...630)	13	R5(l,6...25)
7	R10(40... 200)	14	R40(40...100)

5. Запишите пять членов ряда

Таблица 5

№ вар	Обозначение ряда	№ вар	Обозначение ряда
1	R10/3(...80...)	8	R40/3(...224...)
2	R10/2(...25...)	9	R20/3(...355)
3	R5/3(...40...)	10	R10/2(...25...)
4	R20/3(...630...)	11	R10/3(...25...)
5	R20/3(...71...)	12	R40/3(...180...)
6	R40 (...28...)	13	R40/3(...75...)
7	R40/2(...190...)	14	R20/2(...90...)

6. Пользуясь номерами предпочтительных чисел, определите длину окружности, если её диаметр равен:

Таблица 6

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7
d	5,3 см	8 см	3,55 см	4,23 см	4,5 см	4,75 см	5,6 см
№ вар	8	9	10	11	12	13	14
d	6,7 см	7,1 см	9 см	9,5 см	7,5 см	8,5 см	3,75 м

7. Рассчитайте, пользуясь номерами предпочтительных чисел, объем цилиндра. В ответе дать объём в см³.

Таблица 7

№ вар	1	2	3	4	5	6	7
d (см)	47,5	56	71	90	80	95	42,5
h (см)	13,2	25	14	18	16	17	15
№ вар	8	9	10	11	12	13	14
d (см)	75	85	67	53	45	60	63
h (см)	11,2	11,8	12,5	14	21,2	10,6	11,2