13. Входные и взаимные проводимости ветвей.
Коэффициенты
выражения
имеют размерность проводимостей. Выясним
их физический смысл.
Для
этого приравняем нулю все эдс, кроме
одной, например
.
Это значит, что в цепи остается лишь
одна эдс, включенная в ветвь i.
В ветви k
она вызовет ток .
Значит,
-
это отношение тока в ветви к,
если все эдс цепи равны нулю, кроме эдс
:
Величина называется взаимной проводимостью ветвей k и i.
Если
приравнять нулю все эдс, кроме
, то ток в ветви k
будет равен:
З
начит,
,
если все остальные эдс равны нулю.
называется
входной проводимостью ветви k.
Разумеется, когда мы говорим, что все эдс, кроме одной, равны нулю, то подразумеваются и источники тока.
Часто говорят и о входном сопротивлении цепи со стороны какой-либо ветви:
Например, для цепи
-входное
сопротивление со стороны ветви I.
Входное и взаимное проводимости ветвей, присоединенных к одному и тому же узлу, связаны таким соотношением:
но
Значит,
Т.е
Входная проводимость ветви равна сумме взаимных проводимостей этой ветви и ветвей, присоединенных к любому ее концу.
Подчеркнем, что входные и взаимные проводимости являются характеристиками лишь пассивной части цепи. На них не влияют включенные в цепь источники.
14. Теорема обратимости (взаимности).
Взаимные проводимости обладают таким свойством:
Действительно, они равны
где
- алгебраическое дополнение сопротивления
в определителе системы контурных токов
,
а
-
алгебраическое дополнение сопротивления.
Но
определитель
симметричен.
Поэтому
, и
Это значит, что эдс Е, включенная в ветвь k пассивной цепи, вызовет в ветви i той же цепи такой ток, какой она вызвала бы в ветви k, будучи включена в ветви:
Это называется свойством обратимости (взаимности) линейной цепи.
Аналогичным путем, исходя из уравнений узловых потенциалов, можно было бы доказать, что источник тока J, будучи включен между узлами а и в линейной цепи, вызовет между узлами с и d такую же разность потенциалов, какая возникнет между узлами а и в, если источник тока включить к узлам с и d.
15. Теорема о компенсации.
Эта теорема гласит: любое сопротивление можно заменить источником эдс, направленной против протекания тока в сопротивлении и равной напряжению на нем. При этом в остальной части цепи токи и напряжения не изменяются.
ё
Этот источник эдс остается потребителем энергии, так же, как сопротивление, которое было включено ранее.
Доказывается это следующим образом. Включим в ветвь с сопротивлением R два источника эдс, равных U, но направленных в противоположные стороны:
Ток в цепи не изменится, но появится точка а с потенциалом, равным потенциалу точки в. Соединим их проводником. От этого снова в цепи ничего не изменится. Но вместо сопротивления R в цепь двухполюсника будет включен источник E=U=IR.
Таким образом, теорема доказана.