8. Расчет смежных цепей с помощью законов Кирхгофа.

Расчет цепи заключается в том, чтобы по известным величинам найти неизвестные. Обычно известными считаются эдс, задающие токи и сопротивления (проводимости) пассивных элементов: E, J,R (G), а неизвестными - токи ветвей ( и потенциалы узлов).

В основе всех методов расчета цепей лежат законы Кирхгофа. Разберем метод их непосредственного применения. Пусть дана цепь, в которой требуется найти токи ветвей:

Расчет начинается с того, что во всех ветвях выбирают положительные направления токов и обозначают их стрелками, а сами токи - индексами. Так как в данной цепи неизвестных 6, необходимо составить 6 уравнений, используя оба закона Кирхгофа.

1. По первому закону можно написать для узлов:

Легко убедиться, что здесь любое уравнение является следствием всех остальных. Это значит, что одно из уравнений узлов не является независимым.

Если в цепи имеется n узлов, то лишь n-1 уравнение являются независимыми.

2. Пусть в цепи имеется m ветвей с неизвестными точками. Значит, требуется составить m уравнений для их определения. Таким образом, недостающие

m-(n-1)=m-n+1

уравнения необходимо составить по второму закону Кирхгофа. Можно показать, что второй закон Кирхгофа позволяет составить именно (m-n+1) независимое уравнение контура. Всякая попытка составить уравнение свыше этого количества даст лишь следствие из ранее составленных уравнений.

Чтобы все уравнения были независимыми, их необходимо составить лишь для независимых контуров. Проще всего их определить так: в каждый новый контур должна входить хотя бы одна ветвь, не использованная в предыдущих контурах.

Для относительно простых цепей, которые мы рассматриваем, мы будем считать, что независимые контуры определяются как ячейки на схеме цепи. Обозначать их будем большими буквами; направление обхода – по часовой стрелке. Тогда для контуров:

В етви, в которых действуют источ­ники тока, не входят в расчетные контуры, так как разность потенииалов на полюсах такого источника не выражается через его ток J . Изменение направления обхода контура равносильно изменению всех знаков соответствующего уравнения на обратные.

9.Потенциальная диаграмма.

Потенциальная диаграмма является наглядной иллюстрацией распределения потенциалов в контуре и справедливости второго закона Кирхгофа.

Примем

Построим диаграмму зависимости потенциалов точек, начиная с точки а, от сопротивлений, проходимых при обходе контура по указанному направлению.

Получаем ломаную линию. Наклонные отрезки этой линии соответствуют участкам цепи, обладающим сопротивлением. При этом отношение разности потенциалов сопротивлению участка, равное току в ней, пропорциональному тангенсу угла наклона линии:

Т.е тангенс угла наклона отрезка потенциальной диаграммы пропорционален току на соответствующем участке цепи.

10. Метод контурных токов.

При решении уравнений Кирхгофа обычно, пользуясь уравнениями первого закона, исключают из уравнений, составленных по второму закону, V-I неизвестное. Таким образом, решение производят для m-n+1 неизвестного. Если это делать по некоторым несложным правилам, то мы придём к к уравнениям, которые можно получить и без предварительного составления уравнений Кирхгофа.

Поступим так: выделим m-n+1 контур, совпадающий с ячейками , которые видны на схеме цепи. Ветви с источником тока не входят в эти контуры. В каждом контуре выберем направление обхода по часовой стрелке и предположим, что по этому направлению протекает так называемый «контурный ток». Тогда n-1 уравнение первого закона Кирхгофа дают возможность выразить все действительные токи через «контурные токи» и ток источника J₁ :

Подставив эти значения в уравнения второго закона Кирхгофа (что равносильно замене переменных) и произведя соответствующие действия, получим:

Заметим, что полученная нами в правой части величина представляет собой ЭДС источника тока с внутренней проводимостью

Назовем контурными эдс и т.д. алгебраические суммы эдс, действующих в контурах (после замены источников тока источниками эдс). Со знаком «+» берутся эдс, направление которых совпадает с направлением обхода. Тогца в общем виде полученные уравнения запишутся так :

R_AAI_A+R_ABI_B+R_ACI_C=E_A

R_BAI_A+R_BBI_B+R_BCI_C=E_B

R_CAI_A+R_CBI_B+R_CCI_C=E_C

Здесь :

Сопротивления с одинаковыми индексами R_AA и т.д. называются собственными сопротивлениями контуров; они равны сумме всех сопротивле­ний, входящих в контур. У нас, например,R_AA=R₁+R₁`+R₄.

Сопротивления с разными индексами R_AВ и т.д. называются общими (взаимными) сопротивлениями контуров и равны сопротивлениям, входящим в два смежных контура, взятым со знаком «-». Например, R_AB=-R₄; R_AC=0

Очевидно, что

R_MN=R_NM

Матрица контурных сопротивлений, таким образом, есть симметричная матрица.

В нашем примере контурные эдс равны :

Очевидно, что уравнения контурных токов легко составить и не при­бегая к уравнениям Кирхгофа.

Если в цепи встречается участок, состоящий из источника тока и сопро­тивления, включенных между двумя узлами (см. схему), то необходимо помнить, что контурный ток I_N - это ток, протекающий в общей цепи, а не действительный ток, в сопротивлении .

Число уравнений, составляемых по методу контурных токов, равно числу независимых контуров m-n+1.

11. Метод узловых потенциалов.

Очевидно, что если в цепи известны потенцкалы всех узлов (относи­тельно узла, в котором , то легко можно найти токи во всех вет­вях.

n-I уравнение первого закона Кирхгофа можно преобразовать в уравнения узловых потенциалов, позволяющие найти все неизвестные по­тенциалы.

Для этого выразим токи всех ветвей через потенциалы узлов :

Пусть . Тогда :

В уравнение тока I₂ вошел потенциал правого конца сопротивления R₂, равный эдс Е₂.

Подставим эти выражения в уравнения узлов а, в, d :

Дреобразование этих уравнений дает :

Мы получали уравнения вида :

Действительно, величина Е₂, G₂, стоящая в правоq части уравнения узла b , есть задавши ток источника, эквивалентного источнику эдс E₂:

Величины G_aa с одинаковыми индексами называются собственными проводимоcтями узлов, а величины с разними индексами - общими проводимостяvb соседних узлов.

Собственные проводимости равны сумме проводимостей ветвей, присо­единенных к узлу, а общие - проводимостям ветвей, соединяющих два узла, взятым со знаком «-». Матрица узловых уравнений симметрична.

В правой части стоят алгебраические суммы токов источников, присо­единенных к узлу. Со знаком «+» принимаются токи J , направленные в сто­рону узла, а со знаком «-» - от узла. Поэтому

J_a =0, J₂=J₁; J_b=E₂G₂=J₂; если бы мы приняли равным нулю не , а потенциал другого узла, то имели бы

Легко заметить, что уравнения узловых потенциалов аналогичны урав­нениям контурных токов. В них можно обнаружить следующие соответствия

И та и другая система является системой линейных уравнений. Из свойств таких систем вытекает ряд свойств цепей. Аналогия между обеими системами позволяет пользоваться одной из них для вывода соответствующих соотношений. Однако точно так же можно было бы восполь­зоваться другой системой уравнений.

12. Принцип наложения.

Применим уравнения контурных токов для формулировки ряда свойств цепей.

Пусть - определитель системы уравнений контурных токов, а

– количество независимых контуров. Тогда

Для определения контурного тока подставим вместо k-ого столбца контурные эдс и разложим полученный определитель по элементам этого столбца. Обозначим через алгебраическое дополнение элемента определителя. Тогда

Всегда можно выбрать расчетные контуры так, что контурный ток будет равен действительному току ветви к (если необходимо, можно для этого перечертить схему).

Кроме того, каждую контурную эдс можно разложить на суииу действительных эдс и перегруппировать члены уравнения так, чтобы получить

где - действительные эдс, а - коэффициенты, имеющие размерность проводимости. Если в цепи имеются источники тока, то соответствующие эдс в соотношении будут на самом деле лишь эквивалентами этих источников тока: , а коэффициент умноженный на , дает безмерный коэффициент :

где l - общее количество эдс, а m - общее количество источников тока в цепи.

Таким образом, в создании тока в ветви "к" принимают участие все источники энергии. Каждый из них создает в ветви "к" частичный ток или . Действительный ток есть сумма этих частичных токов.

Точно так же из системы уравнений узловых потенциалов следует, что потенциал k-ого узла можно выразить как сумму частичных потенциалов, пропорциональных задающим токам и эдс источников:

Уравнения для и являются выражением принципа наложения (суперпозиция), действующего в линейных цепях:

Токи и напряжения в линейных цепях можно выразить, как сумму частичных величин, пропорциональных эдс и задающим токам источников.

Это означает, что токи и напряжения в цепи можно найти следующим образом:

Приравняем нулю все величины и в цепи, кроме одной. Для этого нужно заменить эдс проводником (на зажимах источника эдс U=0), а между полюсами источников тока оставить разрыв цепи (ток в этой ветви I=0). Тогда во всех ветвях будут протекать частичные токи, и во всех узлах будут действовать частичные потенциалы, пропорциональные оставшейся величине или .

Проделав такую операцию для всех источников, сложим (алгебраически) полученные результаты. Получим истинные токи или потенциалы в цепи.

Например, в цепи, показанной на рисунке, существуют две системы частичных токов и потенциалов: